Zeigen sie: Falls U ⊂ G eine beliebige Untergruppe von G ist, die A enthält, so enthält U auch ⟨A⟩.

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe und A ⊂ G eine Teilmenge. Die von A erzeugte Untergruppe ist

⟨A⟩ := {a₁· ·a_n | n ∈ ℕ, a_i ∈ A oder

a_i^-1 ∈ A}

Zeigen Sie:

a) ⟨A⟩ ist eine Untergruppe von G.
b) Falls U ⊂ G eine beliebige Untergruppe von G ist, die A enthält, so enthält U auch ⟨A⟩.

Damit kann ⟨A⟩ als die kleinste Untergruppe, die A enthält, bezeichnet werden. Man sagt A erzeugt G, falls ⟨A⟩ = G.

c) Finden sie eine möglichst kleine Menge A ⊂ S₃, die S₃ erzeugt.

Könnte jemand bei b) und c) helfen?

LG Blackwolf

Answer 1

Zu c):

Mache dir Gedanken über \(\{(1\;2),(1\; 3)\}\)