Man zeige das Untergruppenkriterium: U ist eine Untergruppe von (G, ·) ⇔ ∀a, b ∈ U ist a · b^−1 ∈ U.

Question

Aufgabe:

Sei (G, ·) eine Gruppe, U ⊆ G und U ≠ {}. Man zeige das Untergruppenkriterium:
U ist eine Untergruppe von (G, ·) ⇔ ∀a, b ∈ U ist a · b^−1 ∈ U.

Answer 1

U ist eine Untergruppe von (G, ·) ⇔ ∀a, b ∈ U ist a · b^−1 ∈ U.

Die Richtung ==>  benötigt ja nichts anderes als die Abgeschlossenheit von U

und dass es zu jedem b auch ein b^-1 gibt.

Spannender ist wohl <==.

Sei also U eine nicht leere Teilmenge von G mit

#    ∀a, b ∈ U ist a · b^−1 ∈ U .

1. Das neutrale Element e ist in U.

Denn U ist nicht leer, enthält also ein x∈G und nach Vor #

(mit a=x und b=x ) ist dann auch x · x^−1 ∈ U.

Aber   x · x^−1 = e, also e ∈ U.

2. Zu jedem x ist auch x^-1 aus U. Setze in #

a=e (ist ja in U.) und b=x dann hast du e*x^-1 ∈ U

also x^-1 ∈ U.

3. U ist abgeschlossen. Seien x,y ∈ U. Dann ist wegen 2

auch y^-1 aus U . Und dann liefert # mit a=x und b=y^-1

das Ergebnis   x · y ∈ U.

4. Die Verknüpfung ist assoziativ. Da sie für alle Elemente

aus G assoziativ ist, und diese alle in U sind, ist dei

Verknüpfung auch auf U assoziativ.

Also ist U eine Teilmenge von G die bzgl. · eine Gruppe

ist, somit ist (U, ·) eine Untergruppe von G.

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Vielen Dank!!

Answer 2

Sei $G \supseteq U \neq \emptyset$ mit $a\cdot b^{-1}\in U$ für alle $a,b\in U$.

Assoziativgesetz ist offensichtlich erfüllt.

Außerdem ist $1 \in U$ wegen $1= a\cdot a^{-1}$.

Daraus folgt, dass auch $1\cdot b^{-1} = b^{-1} \in U$ ist.

Also ist $U$ Untergruppe von $G$.

Die andere Richtung ist trivial.

Comments

Vielen Dank!!