Zeigen Sie die Konvergenz von (an)n ∈ ℕ_{0} .

Question

Aufgabe:

(b) Es sei $a: \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{R}$ eine Folge, sodass die Folge $s_{n}:=\sum \limits_{k=0}^{n}\left|a_{k+1}-a_{k}\right|$ konvergent ist. Zeigen Sie die Konvergenz von $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} .$ Hinweis: Zeigen Sie zunächst $\left|a_{m}-a_{n}\right| \leq s_{m-1}-s_{n-1}$ für $m>n \geq 1$.

Problem/Ansatz:

würde mich auf eine lösung freuen , ich kam gar nicht weiter

Answer 1

Moinsen,

bilde erstmal die Differenz aus den beiden Summen sm-1 und sn-1, dann wirst du merken, dass alle Glieder von 0 bis n-1 wegfallen wegen m>n. Dann hast du da noch eine summe stehen von n bis m-1, dass ist aber eine Teleskop-Summe. Dort fliegen alle Glieder raus bis auf das erste und letzte Glied, in dem Fall -an+am also hättest du die Ungleichung schonmal gezeigt. Dann wissen wir aber auf Grund der konvergenz von sn, dass sm-1 - sn-1 gegen 0 konvergiert insbesondere auf Grund der Ungleichung an-am auch also eine Chauchy-Folge ist. Wir bewegen uns aber in R also ist jede Chauchy Folge auch konvergent

Liebe Grüße