Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ R mit a < b existiert eine Zahl x ∈ R\Q mit a < x < b.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ R mit a < b existiert eine Zahl x ∈ R\Q mit a < x < b.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass α + β√2 ∈ R\Q für alle α ∈ Q, β ∈ Q\{0}, und
wählen Sie dann α und β so, dass α + β√2 in (a, b) liegt. Hierbei bezeichnet √2 die Zahl x ∈ R+ mit x² = 2.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass Themen wie Stetigkeit in der Vorlesung noch nicht eingeführt wurden und ich leider überhaupt keine Idee für einen Ansatz hab und wie ich dann damit weiter rechnen kann.

Würde mich über jegliche Hilfe freuen.

Answer 1

Ich würde so an die Sache rangehen:

wegen der Dichte der rationalen Zahlen in der Menge der reellen Zahlen ist

$(a,b)\cap\mathbb{Q}\neq \emptyset$ Sei $x$ eine rationale Zahl in

$(a,b)$, Dann ist $b-x\gt 0$. Es gibt daher eine natürliche Zahl $n\gt 0$,

so dass $\frac{\sqrt{2}}{n}\lt b-x$, d.h. $x+\frac{\sqrt{2}}{n}\in (a,b)$.

Offenbar ist $x+\frac{\sqrt{2}}{n}$ irrational.

Comments

Ich meine es jetzt verstanden zu haben, danke.