Bijektivität beweisen

Question

Moin,

Zeigen Sie, dass die Abbildung

\( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}_{0}, x \mapsto\left\{\begin{aligned} 2 x, & \text { falls } x \geq 0 \\ -2 x-1, & \text { falls } x<0 \end{aligned}\right. \)
eine bijektive Abbildung ist.

Ich habe da Folgendes herausgearbeitet, was bestimmt falsch ist:

Bedingung: f: Z → N₀ x ↦ 2x ist injektiv, wenn ∀x₁, x₂ ∈ Z : f (x₁) = f (x₂) => x₁ = x₂

Seien x1, x2 ∈ Z : f (x₁) = f (x₂)

2x₁ = 2x₂     I :2

x₁ = x₂    (also injektiv)     

Für x ↦ -2x-1

-2x₁-1 = -2x₂-1 I +1 und :(-2x)

x_{1 =} x_{2 (also injektiv)}

Jetzt die Surjektivität:

Bedingung f: Z → N₀  x ↦ 2x ist surjektiv, wenn ∀n∈Z ∃x∈N₀ : f(x) = n

f(x) = n

x = n/2 (also surjektiv)

Für x ↦ -2x-1

∀n∈Z ∃x∈N0 : f(x) = n

f(x) = n = -2x-1

f(-n/2+1) = (-2x-1) = (-n/2+1) -1 = n/2

(also surjektiv)

Comments

hier der Graph:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+2x+and+-2x-1

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Danke. Ein Graph hilft, um das Ganze besser zu visualisieren und ein Bild davon zu bekommen, das stimmt.

Answer 1

Das war doch ganz ok, allerdings musst du wohl die

Bedingung noch besser rausarbeiten,

wann welcher Funktionsterm benutzt wird.

Seien x1, x2 ∈ Z : f (x1) = f (x2)

1. Fall  :  f (x1) = f (x2) ist gerade, dann

2x1 = 2x2    I :2

x1 = x2    (also injektiv)   

Falls f(x1)=f(x2) und es ist ungerade , dann gilt

-2x1-1 = -2x2-1 I +1 und :(-2)   !!!!
x1 = x2 (also injektiv)

Jetzt die Surjektivität:  Sei n∈ℕo.

1. Fall n ist gerade. ==>   n/2 ∈ ℤ und n/2≥0

also f(n/2) = n

2. Fall n ist ungerade ==>  n+1 ist gerade und n+1 > 0

==>   (n+1) / (-2) ∈ ℤ und  (n+1) / (-2)<0

==>   f( (n+1) / (-2) ) = n .

Also gibt es für jedes n∈ℕo ein x∈ℤ mit f(x)=n

Comments

Vielen Dank mathef.

Kann ich das ∀n∈Z ∃x∈N0 : f(x) = n rausstreichen, was ich in der Bedingung geschrieben habe oder ist das korrekt?

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Nö, das ist doch ok.

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Super vielen Dank