Wie bilde ich das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst?

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) \( \frac{4^k}{5^k} \)

Problem/Ansatz:

Wie bilde ich das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst?

Answer 1

Aloha :)

Beim Cauchy-Produkt summierst du über die Summe der beiden Indizes:$$\phantom{=}\sum\limits_{i=0}^\infty\left(\frac45\right)^i\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac45\right)^k=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\sum\limits_{i+k=n}\left(\frac45\right)^i\cdot\left(\frac45\right)^k\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac45\right)^i\cdot\left(\frac45\right)^{n-i}\right)$$Das kannst du nun normal ausrechnen:$$=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac45\right)^n\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1)\left(\frac45\right)^n=\left.\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1)x^n\right|_{x=\frac45}=\left.\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{d}{dx}x^{n+1}\right|_{x=\frac45}$$$$=\left.\frac{d}{dx}\left(x\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n}\right)\right|_{x=\frac45}=\left.\frac{d}{dx}\left(x\cdot\frac{1}{1-x}\right)\right|_{x=\frac45}=\left.\frac{1}{(1-x)^2}\right|_{x=\frac45}=25$$