Beweis mit Fibonacci-Zahlen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die rekursiv definierte Folge der Fibonacci-Zahlen:
a₀ := 0, a₁ := 1, a_n := a_n−1 + a_n−2 für n ≥ 2.
Zeigen Sie:
a)

a²_n+1 − a_n+1a_n − a²_n = (−1)ⁿ ∀n ∈ N,

Problem/Ansatz:

Hallo, ich sitze schon seit mehreren Stunden an dieser Aufgabe und komme mit Induktion auf keine Lösung. Gibt es hier eventuell eine andere Vorgehensweise oder hätte jemand vielleicht eine Hilfestellung für mich?

Answer 1

Beweis per Induktion über \(n\).

Man rechnet leicht nach, dass die Aussage für \(n=0\) gilt.

Wenn die Aussage für ein \(n\ge0\) gilt, dann gilt auch$$\quad a_{n+2}^2-a_{n+2}a_{n+1}-a_{n+1}^2\\=(a_{n+1}+a_n)^2-(a_{n+1}+a_n)\cdot a_{n+1}-a_{n+1}^2\\=a_{n+1}^2+2a_{n+1}a_n+a_n^2-a_{n+1}^2-a_na_{n+1}-a_{n+1}^2\\=(-1)\cdot(a_{n+1}^2-a_{n+1}a_n-a_n^2)\\=(-1)\cdot(-1)^n=(-1)^{n+1}.$$

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vielen Dank für die Antwort !