Die Eigenwerte der homogenen Dgl. sind λ1,2=1 also ist die allg. homogene Lösung
yH(x)=Aex+Bxex
Um zu einer inhomogene Lösung zu kommen , variiert man jetzt die Konstante der Funktion, die mit der Störfunktion in Resonanz steht. D.h.
yI(x)=A(x)ex und damit yI′(x)=A′(x)ex+A(x)ex und yI′′(x)=A′′(x)ex+2A′(x)ex+A(x)ex
Einsetzten in die Dgl. ergibt A′′(x)=41 also A(x)=81x2+ax+b
Insgesamt also y(x)=yH(x)+yI(x)=(81x2+ax+b)ex+Bxex
Die Anfangsbedingungen ergebn b=0 und B=1−a also
y(x)=xex(81x+1)
Das ganze geht auch mit der Wronskydeterminate, kommt das gleiche raus.
W(x)=e2x Damit ist die allg. Lösung y(x)=Aex+Bxex+81x2ex Die Anfangsbedingungen ergeben A=0 und B=1 also
y(x)=xex(81x+1) also identisch wie die Lösung mit dem Störansatz.