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Hi zusammen!
Ich soll alle Lösungen einer Differentialgleichung bestimmen, aber habe keine Idee wie ich vorgehen soll.

Die DGL lautet:
4y(x)8y(x)+4y(x)=ex4y''(x)-8y'(x)+4y(x)=e^x

Dazu sind die Anfangswerte y(0)=0 und y(0)=1y(0) = 0 \text{ und } y'(0)=1 gegeben.

Schon einmal vielen Dank im Voraus!

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Sollte das vielleicht 4y8y+4y=ex 4y''-8y'+4y = e^x heissen?

Auf jeden Fall die homogene Dgl. lösen mit dem Ansatz y(x)=eλx y(x) = e^{\lambda x} und die inhomogene mittels Variation der Konstante da Resonanz zwischen Eigen- und Störfunktion vorliegt.

2 Antworten

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Die Eigenwerte der homogenen Dgl. sind λ1,2=1 \lambda_{1,2} = 1 also ist die allg. homogene Lösung

yH(x)=Aex+Bxex y_H(x) = A e^x + B x e^x

Um zu einer inhomogene Lösung zu kommen , variiert man jetzt die Konstante der Funktion, die mit der Störfunktion in Resonanz steht. D.h.

yI(x)=A(x)ex y_I(x) = A(x) e^x und damit yI(x)=A(x)ex+A(x)ex y_I'(x) = A'(x) e^x + A(x) e^x und yI(x)=A(x)ex+2A(x)ex+A(x)ex y_I''(x) = A''(x) e^x + 2 A'(x) e^x + A(x) e^x

Einsetzten in die Dgl. ergibt A(x)=14 A''(x) = \frac{1}{4} also A(x)=18x2+ax+b A(x) = \frac{1}{8} x^2 + a x + b

Insgesamt also y(x)=yH(x)+yI(x)=(18x2+ax+b)ex+Bxex y(x) = y_H(x) + y_I(x) = \left( \frac{1}{8} x^2 + a x + b \right) e^x + B x e^x

Die Anfangsbedingungen ergebn b=0 b = 0 und B=1a B = 1 - a also

y(x)=xex(18x+1) y(x) = x e^x \left( \frac{1}{8} x + 1 \right)

Das ganze geht auch mit der Wronskydeterminate, kommt das gleiche raus.

W(x)=e2x W(x) = e^{2x} Damit ist die allg. Lösung y(x)=Aex+Bxex+18x2ex y(x) = A e^x + B x e^x + \frac{1}{8} x^2 e^x Die Anfangsbedingungen ergeben A=0 A = 0 und B=1 B = 1 also

y(x)=xex(18x+1) y(x) = x e^x \left( \frac{1}{8} x +1 \right) also identisch wie die Lösung mit dem Störansatz.

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Hallo,

Lösung mit Ansatz rechte Seite:

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