Die Eigenwerte der homogenen Dgl. sind \( \lambda_{1,2} = 1 \) also ist die allg. homogene Lösung
$$ y_H(x) = A e^x + B x e^x $$
Um zu einer inhomogene Lösung zu kommen , variiert man jetzt die Konstante der Funktion, die mit der Störfunktion in Resonanz steht. D.h.
$$ y_I(x) = A(x) e^x $$ und damit $$ y_I'(x) = A'(x) e^x + A(x) e^x $$ und $$ y_I''(x) = A''(x) e^x + 2 A'(x) e^x + A(x) e^x $$
Einsetzten in die Dgl. ergibt $$ A''(x) = \frac{1}{4} $$ also $$ A(x) = \frac{1}{8} x^2 + a x + b $$
Insgesamt also $$ y(x) = y_H(x) + y_I(x) = \left( \frac{1}{8} x^2 + a x + b \right) e^x + B x e^x $$
Die Anfangsbedingungen ergebn \( b = 0 \) und \( B = 1 - a \) also
$$ y(x) = x e^x \left( \frac{1}{8} x + 1 \right) $$
Das ganze geht auch mit der Wronskydeterminate, kommt das gleiche raus.
$$ W(x) = e^{2x} $$ Damit ist die allg. Lösung $$ y(x) = A e^x + B x e^x + \frac{1}{8} x^2 e^x $$ Die Anfangsbedingungen ergeben \( A = 0 \) und \( B = 1 \) also
$$ y(x) = x e^x \left( \frac{1}{8} x +1 \right) $$ also identisch wie die Lösung mit dem Störansatz.
