Ebene bestimmen mit Geradengleichung

Question

Guten Tag ,

ich möchte eine Ebenengleichung (& die Hessesche Normalenform der Ebene) bestimmen, doch habe nur eine Gerade gegeben, die die Ebene enthält.
$$ \begin{pmatrix} 6\\2\\1 \end{pmatrix}+ λ\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}, λ\in \mathbb{R} $$

Mir ist ebenfalls bekannt, dass die Ebene die z-Achse bei S3 = (0, 0, 3) schneidet.

Mein Problem ist nun, dass ich die Ebenengleichung nicht ganz bestimmen kann. Ich weiß, dass ich die Ebene aus dem Ortsvektor und dem Richtungsvektor der Gerade bestimmen kann, doch wie bestimme ich den zweiten Richtungsvektor?

Comments

Der zweite Richtungsvektor ist von der Geraden zum Punkt auf der z-Achse.

Answer 1

Aloha :)

Du weißt, dass die Gerade$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}6\\2\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$in der Ebene liegt. Du weißt auch, dass der Punkt \((0|0|3)\) in der Ebene liegt. Also musst du auf der Ebene vom Punkt \((6|2|1)\) zum Punkt \((0|0|3)\) laufen können. Dabei folgst du dem Vektor \((-6|-2|2)\), denn die \(x\)-Koordinate verringert sich auf dem Weg um \(6\), die \(y\)-Koordinate verringert sich um \(2\) und die \(z\)-Koordnate erhöht sich um \(2\) Einheiten. Das ist der fehlende Richtungsvektor der Ebene:$$E\colon\vec x=\begin{pmatrix}6\\2\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-6\\-2\\2\end{pmatrix}$$

Answer 2

wie bestimme ich den zweiten Richtungsvektor?

Nimm z.B. den Verbindungsvektor von (0;0;3) und (6;2;1).