Wie viele Häufungspunkte kann (an) haben?

Question

Aufgabe:

(a_n ) eine Zahlenfolgen mit 4ⁿ |a_n + a_n+1 | <1 für alle n∈ℕ

Wie viele Häufungspunkte kann (an) haben ?

Problem/Ansatz:

Dh die Folge muss konvergieren damit sie genau einen HP hat oder sie divergiert und kann mehrere besitzen. Wie gehe ich hier vor die 4ⁿ verwirrt mich hier, danke :)

Answer 1

Hallo,

mit der "Dreiecksungleichung nach unten" gilt:

$$||a_n|-|a_{n+1}|| \leq |a_n+a_{n+1}| < 0.25^n$$

Damit ist die Folge \((|a_n|)\) eine Cauchy-Folge (das muss evtl. noch nachgewiesen werden, war aber kürzlich auch auf der Mathelounge), also konvergiert. Wenn \((|a_n|)\) gegen g konvergent, dann kann \((a_n)\) höchstens die Häufungspunkte g und -g haben.

Gruß Mathhilf