Wie lauten die Schnittpunkte X, Y und Z der Ebene E mit den Koordinatenachsen?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebene E:x= (3|2|0)+r(0|-2|2)+s(-3|0|2) sowie die Gerade g:x=(3|2|1)+t(-3|2|0)

a) Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E auf
b) Wie lauten die Schnittpunkte X, Y und Z der Ebene E mit den Koordinatenachsen?
c) In welchen Punkten A und B schneidet die Gerade g die x-z-Ebene bzw. die x-y-Ebene?
d) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen? Weiß absolut nicht wie.

Answer 1

a) \(\left(\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}\right)*\left(\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right) = 0\)

b) Guckst du hier: https://www.mathelounge.de/886772/bestimmen-sie-die-achsenschnittpunkte-von-e

c) Löse die Gleichungen

        \(\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}\)

bzw.

      \(\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}\)

d) Löse die Gleichung

        \(\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}\).

Unendlich viele Lösungen: die Gerade liegt in der Ebene

Eine Lösung: die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt

Keine Lösung: die Gerade liegt nicht in der Ebene, ist aber zu ihr parallel.