Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen. Untersuchen Sie, ob das Dreieck, das durch die Schnittpunkte festgelegt wird, gleichschenklig ist.

\( \mathrm{E}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich hier weiter komme

Answer 1

[3, 0, 0] + r·[3, 4, 1] + s·[1, 0, -1] = [x, 0, 0] --> r = 0 ∧ s = 0 ∧ x = 3

[3, 0, 0] + r·[3, 4, 1] + s·[1, 0, -1] = [0, y, 0] → r = -3/4 ∧ s = -3/4 ∧ y = -3

[3, 0, 0] + r·[3, 4, 1] + s·[1, 0, -1] = [0, 0, z] → r = 0 ∧ s = -3 ∧ y = 3

Da die Achsenabschnitte alle den gleichen Betrag haben, sollte das Dreieck sogar gleichseitig sein.

Eine andere Möglichkeit wäre die Ebene in die Koordinatenform zu bringen

[3, 4, 1] ⨯ [1, 0, -1] = [-4, 4, -4] = - 4·[1, -1, 1]

E: x - y + z = 3

Hier kann man jetzt die Achsenabschnitte auch recht einfach ablesen.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Für alle Punkte \(\vec x\) in der Ebene gilt:$$\vec x=\begin{pmatrix}3+3r+s\\0+4r+0s\\0+r-s\end{pmatrix}=\pink{\begin{pmatrix}3+3r+s\\4r\\r-s\end{pmatrix}}$$

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen erkennst du daran, dass 2 von den 3 Koordinaten gleich 0 sind. Wir versuchen also, jeweils 2 Koordinaten auf Null zu setzen.

Punkt A(?|0|0)

Die zweite Koordiante wird \(0\) für \(\pink{r=0}\). Damit dann auch die dritte Koordinate \(0\) wird, muss \(\pink{s=0}\) gelten. Dann lautet die erste Koordinate \((3+3\cdot0+0=3)\).$$\implies A(3|0|0)$$

Punkt B(0|?|0)

Die letzte Koordinate wird \(0\) für \(\pink{r=s}\). Dann ist die erste Koordinate \((3+3r+r)=(3+4r)\). Diese verschwindet für \(\pink{r=-\frac34}\). Damit können wir die zweite Koordinate bestimmen: \((4\cdot(-\frac34)=-3)\).$$\implies B(0|-3|0)$$

Punkt C(0|0|?)

Die zweite Koordinate wird \(0\) für \(\pink{r=0}\). Dann lautet die erste Koordinate \((3+s)\). Diese wird zu \(0\) für \(\pink{s=-3}\). Dann lautet die dritte Koordinete \((0-(-3)=3)\).$$\implies C(0|0|3)$$