Infimum und Supremum von M= {m,n∈N: (2n-m)/n, }

Question 1

Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen bezüglich der Ordnungsrelation ≤ in
R nach oben bzw. unten beschränkt sind. Gegebenfalls bestimme man das Supremum bzw.
Infimum, sowie das Maximum und Minimum, falls existent.

M= {m,n∈N: (2n-m)/n, }

Question 2

Aloha :)

$$\frac{2n-m}{n}=\frac{2n}{n}-\frac{m}{n}=2-\frac{m}{n}$$Da $n,m\in\mathbb N$ beliebig gewählt werden können, können wir den Bruch $\frac{m}{n}$ minimieren, indem wir $m=1$ festhalten und $n\to\infty$ gehen lassen. Der Bruch nähert sich daher von oben her der $0$ an, erreicht sie aber nie. Von der $2$ wird also immer etwas, wenn auch unendlich Kleines, subtrahiert. Die $2$ ist daher das Supremum.

Nach unten hin sind die Werte unbegrenzt, wähle z.B. $n=1$ und lasse $m\to\infty$ gehen. Das Ergebnis geht gegen $-\infty$. Daher gibt es kein Infimum oder Minimum.

Tschakabumba · Answer 1 · 2021-11-18T12:24:37+0000

Aloha :)

$$\frac{2n-m}{n}=\frac{2n}{n}-\frac{m}{n}=2-\frac{m}{n}$$Da $n,m\in\mathbb N$ beliebig gewählt werden können, können wir den Bruch $\frac{m}{n}$ minimieren, indem wir $m=1$ festhalten und $n\to\infty$ gehen lassen. Der Bruch nähert sich daher von oben her der $0$ an, erreicht sie aber nie. Von der $2$ wird also immer etwas, wenn auch unendlich Kleines, subtrahiert. Die $2$ ist daher das Supremum.

Nach unten hin sind die Werte unbegrenzt, wähle z.B. $n=1$ und lasse $m\to\infty$ gehen. Das Ergebnis geht gegen $-\infty$. Daher gibt es kein Infimum oder Minimum.

Infimum und Supremum von M= {m,n∈N: (2n-m)/n, }

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