Lage von Ebenen und Geraden

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Gerade g(x)=[14,-1-1]+r*[-8,2,1] und die Ebene E durch die Punkte A(-2,5,2), B(2,3,0) und C(2,-1,2).
a) Stellen Sie die Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E auf.
b) Prüfen Sie, ob der Punkt P(-2,3,1) auf der Geraden g(x) oder auf der Ebene E liegt.
c) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g(x) und E. Bestimmen Sie ggf. den Schnittpunkt S.
d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte Q und R der Geraden g(x) mit der x-y-Ebene bzw. der y-z-Ebene.
e) In welchen Punkten schneiden die Koordinatenachsen die Ebene E?
f) Zeichnen Sie anhand der Ergebnisse aus c), d) und e) ein Schrägbild von g(x) und E.

Problem/Ansatz:
Also Ich hab alle Aufgabengelöst außer e
a) [-2,5,2]+s*[4,-2,-2]+t*[4,-6,0] 
([x,y,z]-[-2,5,2])*[-12,-8,-16]=0
-12*x-8*y-16*z=48
b) Punkt liegt auf der Gerade aber nicht auf der Ebene
c) S(2,2,1/2)
Ok jetzt bei d) https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=gerade(14%7C-1%7C-1%206%7C1%7C0)%0Apunkt(-2%7C3%7C1%20%22P%22)%0Apunkt(2%7C2%7C0.5%20%22s%22)%0Apunkt(6%7C1%7C0%20%22Q%22)%0Apunkt(0.5%7C2.3%7C4%20%22R%22)%0Aebene(-2%7C5%7C2%202%7C3%7C0%202%7C-1%7C2)%0Apunkt(-0.17073%7C0.12195%7C2.17073%20%22S%22) Ich hab das erstellt um zu gucken ob die Punkte richtig liegen. Der Punkt Q (Schnittpunkt mit der x-y-Ebene) scheint mit punkt(6|1|0 "Q") richtig zu sein
R sieht aber daneben aus mit punkt(0.5|2.3|4 "R"). Was habe ich falsch gemacht?
e) wie geht man da vor?
f) Welche Informationen sind für die Zeichnung wichtig

Answer 1

d) Ein Schnittpunkt mit einer Koordinatenebene bedeutet, dass eine Koordinate stets 0 ist
(also bei der xy-Ebene ist die z-Koordinate 0, bei der yz-Ebene die x-Koordinate).

Durch diese 0 kannst du dir den Parameter der Gerade berechnen und mit diesem dann die anderen Koordinaten.

e) Bei Schnittpunkten mit der Koordinatenachse sieht das ähnlich aus.

Bei der x-Achse sind jeweils die y-und z-Werte 0. Das heißt, die kannst die Koordinatengleichung vereinfachen:

-12x = 48

Also ist x=-4

Äquivalent sieht das mit den anderen Achsen aus.

(alternativ könntest du dir die Achsen auch als Geraden darstellen lassen und wieder den Schnittpunkt bestimmen)

Comments

ok ich hab den punkt Q überarbeitet. Das sieht besser aus https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=gerade(14%7C-1%7C-1%206%7C1%7C0)%0Apunkt(-2%7C3%7C1%20%22P%22)%0Apunkt(2%7C2%7C0.5%20%22s%22)%0Apunkt(6%7C1%7C0%20%22Q%22)%0Apunkt(0%7C2.5%7C0.75%20%22R%22)%0Aebene(-2%7C5%7C2%202%7C3%7C0%202%7C-1%7C2)%0Apunkt(-0.17073%7C0.12195%7C2.17073%20%22S%22)