Beweisen sie mit der Definition der Konvergenz

Question

Aufgabe: Beweisen sie mit der Definition der Konvergenz einer Folge, dass die Folge an= (n^3 + 2n) / (4n^4 - sin(n) +1) eine Nullfolge ist.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Beh.: Zu jedem ε>0 gibt es ein N so dass für alle n>N folgt

                       | a_n - 0 | <ε

Bew.: Sei ε>0. Betrachte     | a_n - 0 |

= \( |\frac {n^3+2n}{4n^4 - sin(n) + 1 } |\)

Da 1-sin(n) ≥ 0 und die anderen Terme alle

positiv sind, kann der Betrag entfallen.

= \( \frac {n^3+2n}{4n^4 - sin(n) + 1 } \)

Außerdem ist  1-sin(n) ≤ 2 ≤ 2n^4 , also gilt

 \( \leq \frac {n^3+2n}{4n^4 +2n^4 } = \frac {n^3+2n}{6n^4 }  \)

\( \leq  \frac {2n^3+2n}{6n^4 }  \leq \frac {2n^3+2n^3}{6n^4 } \)

\( =  \frac {4n^3}{6n^4 }  =  \frac {2}{3n }   \leq \frac {1}{n } \)

Und \(  \frac {1}{n } \lt ε \) gilt für alle \( n \gt \frac {1}{ ε}   \)

Also wähle für N , die nach Archimedes existierende

nat. Zahl N mit \( N \gt \frac {1}{ ε}  \).