Abbildungen linear Umkehrabbildung

Question

Aufgabe:

Eine Abbildung f : ℝ → ℝ heißt linear, falls:

∀α ∈ ℝ, x, y ∈ ℝ : f (αx + y) = αf (x) + f (y).

Zeigen Sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn f⁻¹({0}) = {0} ist.
Zeigen Sie außerdem, dass die Funktion dann auch surjektiv ist und, dass die Umkehrabbildung f⁻¹ ebenfalls linear ist.

Problem/Ansatz:

Könnte mir hier jemand helfen?

Answer 1

Zur Hilfe vielleicht vorweg: Das sind nicht die

sog. linearen Funktionen, die man von der Schule kennt,

also sowas wie f(x) = mx+n .

#   f⁻¹({0}) = {0} ==>  Falls f(x)=0 ist, dann ist auch x=0.

Ansatz injektiv: Seien x,y ∈ℝ mit f(x)=f(y)

==>  -1*f(x) + f(y) = 0

wegen linear folgt f( -x+y)=0

wegen  # folgt   -x+y = 0   also  x = y

Also hat man: Wenn # gilt, dann ist f injektiv.

Umgekehrt : 1. f(0)= f(1*0+0)  wegen linear

          = 1*f(0)+f(0) = 2*f(0) .

Also gilt f(0)= 2*f(0)    | -f(0)

                      0 =   f(0) .

Also 0∈ f⁻¹({0})   und damit   {0 }⊆ f⁻¹({0})

2. Sei f injektiv. Und Sei x∈   f⁻¹({0}).

f(x)=0  da andererseits auch (s.o. )  f(0)=0

folgt  x=0 .      Also   {0 }= f⁻¹({0}).