Zeigen Sie, W_{1}=W_{2}

Question

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Aufgabe 2. Seien \( W_{1}, W_{2} \subset \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch:
\( \left.W_{1}=\operatorname{Span}\left(\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right)\right), \quad W_{2}=\operatorname{Span}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 7 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ -7 \end{array}\right)\right) \)
Zeigen Sie, \( W_{1}=W_{2} \).

Kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Ich bin für jede Hilfe dankbar! :/

Answer 1

Aloha :)

Wir zeigen, dass beide Erzeugendendensysteme \(W_1\) und \(W_2\) durch die gleiche Basis ausdgedrückt werden können, indem wir ihre Vektoren durch elementare Spaltenumformungen auf dieselbe Gestalt bringen:

$$\begin{array}{rr}-2S_2\\\hline2 & 1\\3 & -1\\ -1 & -2\end{array}\to\begin{array}{rr} & +3S_1\\\hline0 & 1\\5 & -1\\3 & -2\end{array}\to\begin{array}{rr} & \\\hline0 & 1\\5 & 14\\3 & 7\end{array}$$ $$\begin{array}{rr} & -2S_1\\\hline3 & 5\\7 & 0\\ 0 & -7\end{array}\to\begin{array}{rr}+3S_2 & \cdot(-1)\\\hline3 & -1\\7 & -14\\0 & -7\end{array}\to\begin{array}{rr}\colon(-7) & \\\hline0 & 1\\-35 & 14\\-21 & 7\end{array}\to\begin{array}{rr} \\\hline0 & 1\\5 & 14\\3 & 7\end{array}$$

Die beiden Erzeugendensysteme sind also gleich:\(\quad W_1=W_2\).

Answer 2

Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/886808/zeigen-sie-w1-gleich-w2