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Aufgabe:

Es seien die folgenden Untermodule des \( \mathbb{Z} \) -Moduls \( \mathbb{Z}^{3} \) gegeben:

$$ W_{1}:=\left\langle\left(\begin{array}{c} -37 \\ 16 \\ 18 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 14 \\ -4 \\ -6 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -12 \\ 6 \\ 6 \end{array}\right)\right\rangle \quad \text { und } \quad W_{2}:=\left\langle\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)\right\rangle $$


Problem/Ansatz:

Wie kann ich zeigen, dass \( W_{1} \neq W_{2}, \) aber es gibt einen Isomorphismus \( \mathbb{Z}^{3} / W_{1} \cong \mathbb{Z}^{3} / W_{2} \)?

von

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass die Quotienten isomorph sind.

Stichworte: lineare-algebra,isomorphismus,isomorph,direkte,summe

Aufgabe:

Die Untermoduln \(U_1, U_2 \) des \( \mathbb{Z} \) - Moduls \( \mathbb{Z}^3 \) sind gegeben durch \( U_1 := span \left\{\begin{pmatrix} -37\\16\\18 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 14\\-4\\-6 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -12\\6\\6 \end{pmatrix} \right\} \) und \( U_2 := span \left\{\begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\4\\-2 \end{pmatrix} \right\} \).

Zeigen Sie, dass es einen Isomorphismus gibt, sodass \( \mathbb{Z}^3/U_1 \cong \mathbb{Z}^3/U_2 \) gilt.

Hinweis: Zerlegen Sie beide Quotienten in direkte Summen.


Problem/Ansatz:

Die direkte Summe müsste nach meinem Verständnis so aussehen \( \mathbb{Z}^3/U_1 = \mathbb{Z}/ span \left\{ -37 , 14 , -12 \right\} \oplus \mathbb{Z}/ span \left\{ 16 , -4 , 6 \right\} \oplus \mathbb{Z}/ span \left\{ 18 , -6 , 6 \right\} \). Ich bin mir jedoch nicht sicher.

Danke im Voraus für jede Hilfe.

Diese Frage ist kein echtes Duplikat der referenzierten Frage.

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Hey master,

in \( W_1 \) haben die Elemente die Form:

$$ a \left(\begin{array}{c} -37 \\ 16 \\ 18 \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c} 14 \\ -4 \\ -6 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c} -12 \\ 6 \\ 6 \end{array}\right) = \begin{pmatrix} -37a+14b-12c\\16a-4b+6c\\18a-6b+6c\end{pmatrix}, a,b,c \in \mathbb{Z}$$

Die Einträge in der zweiten Komponente sind also immer gerade, insbesondere kann \( (1,1,1)^T \notin W_1 \) sein, da aber \( (1,1,1)^T \in W_2 \), ist \( W_1 \neq W_2 \).

Die Matrizen

$$ \begin{pmatrix} -37 & 14 & -12\\16&-4&6\\18&-6&6 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 &1 & -2\\-1&1&4\\3&1&-2 \end{pmatrix} $$

haben beide die Elementarteiler 1, 2, 6, also gilt:

$$ \mathbb{Z}^3/W_1 \cong \mathbb{Z}/1\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}^3/W_2 $$

von

Wie bist du auf die Elementarteiler gekommen?

Soll ich ehrlich sein? Mit SAGE... Händisch kann man z.B. mit elementaren Zeilen-/Spaltenumformungen auf Diagonalgestalt bringen, ist auch nicht so aufwändig:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 &-2\\ -1 & 1 & 4\\ 3&1&-2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ -1 & 2 & 2\\ 3&-2&4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 2 & 2\\ 0 &-2&4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 &-2&6 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0&6 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} -37 & 14 &-12\\ 16 & -4 &6\\18&-6&6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -1 & 2 &0\\ 16 & -4 &6\\18&-6&6 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} -1 & 0 &0\\ 0 & 28 &6\\0&30&6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 &0\\ 0 & -2 &0\\0&30&6 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} -1 & 0 &0\\ 0 & -2 &0\\0&0&6 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 2 &0\\0&0&6 \end{pmatrix} $$

Zeilen &  Spalten darf man natürlich nur mit Einheiten (hier ±1) multiplizieren.

Aha, und der Isomorphismus ergibt sich dann aus einem bekannten Theorem, schätze ich? Ist das der Elementarteilersatz?

Woher weiß man, dass das Ergebnis der elementaren Umformungen eindeutig ist?

PS: Du sollst immer ehrlich sein ;) 

Betrachten wir mal $$ W_2 = \left\langle \underbrace{\begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix}}_{:= v_1}, \underbrace{\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}}_{:= v_2} , \underbrace{\begin{pmatrix} -2\\4\\-2 \end{pmatrix}}_{:= v_3} \right\rangle $$

Dann betrachtet man die Smith-Normalform

https://en.wikipedia.org/wiki/Smith_normal_form

der Matrix \( A = ( v_1 ~ v_2 ~v_3 ) \): Es existieren reguläre Matrizen S, T s.d.

$$ \begin{pmatrix}1\\ & 2 \\ && 6 \end{pmatrix}=SAT $$

bzw.

$$ S^{-1} \begin{pmatrix}1\\ & 2 \\ && 6 \end{pmatrix} = AT $$

In den Spalten von \( S^{-1} \) steht eine Basis \( (w_1, w_2, w_3) \) von \( \mathbb{Z}^3 \). Da T regulär ist kann man es als Produkt von Elementarmatrizen schreiben, und die wirken nun von rechts auf A, d.h. als Spaltenperationen. Man kann die \( v_i \) also so miteinander addieren und tauschen, dass \( 1w_1, 2w_2, 6w_3 \) rauskommt. Am aufgespannten Modul ändert das aber nichts => \( W_2 = \langle w_1, 2w_2, 6w_3  \rangle \)

Insgesamt:

$$ \begin{align*} \frac{\mathbb{Z}^3}{W_1} &= \frac{\langle w_1,w_2,w_3\rangle}{\langle w_1, 2w_2, 6w_3  \rangle} \\&= \frac{\langle w_1\rangle \oplus \langle w_2\rangle \oplus \langle w_3\rangle}{\langle w_1\rangle \oplus \langle 2w_2\rangle \oplus \langle 6w_3\rangle} \\&\cong \frac{\langle w_1\rangle}{\langle w_1\rangle} \oplus \frac{\langle w_2\rangle}{\langle 2w_2\rangle} \oplus \frac{\langle w_3\rangle}{\langle 6w_3\rangle} \\&\cong \mathbb{Z}/1\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{align*}$$

Die Anzahl der Elementarteiler ist eindeutig, die Elementarteiler nur bis auf Assoziiertheit (folgt aus dem Elementarteilersatz für Matrizen), die Matrizen S und T sind nicht eindeutig, aber das ist egal.

Inwiefern sind die Matrizen S und T nicht eindeutig, ist SAT = S'AT' für zwei weitere Matrizen S' und T'?

z.B.

$$ \begin{align*}\begin{pmatrix} 1 &0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0& 0 &6\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 &  0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &  1 & -2 \\ -1 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & -2  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &  -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 &  0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &  1 & -2 \\ -1 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & -2  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -2 & -3 \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}\end{align*} $$

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