Aufgabe:
Sei \( V \) ein \( n \)-dimensionaler Vektorraum über \( \mathbb{K} \), und sei \( \mathcal{B}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \) eine Basis von \( V \). Dann kann jedes \( x \in V \) eindeutig in der Form \( x=\sum \limits_{k=1}^{n} c_{k} v_{k} \) mit \( c_{k} \in \mathbb{K} \) geschrieben werden.
(i) Nun sei \( j \in \mathbb{N} \) mit \( 1 \leq j \leq n \). Zeigen Sie dass die Abbildung \( w_{j}: V \rightarrow \mathbb{K} \), die jedem \( x \in V \) seinen Entwicklungskoeffizienten \( c_{j} \) zuordnet, ein lineares Funktional ist!
(ii) Zeigen Sie, dass \( \left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \) eine Basis des Dualraums \( V^{*} \) ist! (Sie wird die zu \( \mathcal{B} \) duale Basis genannt.)
(iii) Zeigen Sie, dass die lineare Abbildung \( V \rightarrow V^{*} \), die jedem \( v_{j} \) das lineare Funktional \( w_{j} \) zuordnet, ist ein Isomorphismus ist!
Problem/Ansatz:
Ich hänge leider an dem Beispiel.
Für (i) ist mir in der Theorie noch klar, wie ich zeige, dass es sich um ein lineares Funktional handelt. Über die Additivität und die Homogenität, würde das so passen und wie bringe ich das zu Papier?
Für (ii) und (iii) hab ich aber nicht mal eine Idee.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
