Aufgabe:
Text erkannt:
Es sei \( D:=\left\{z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi}: r \in \mathbb{R}_{>0},-\pi<\varphi<\pi\right\} \subset \mathbb{C} \) das Komplement der negativen reellen Achse. Man zeige:
(a) Die Abbildung \( \log : D \rightarrow \mathbb{C} \) mit \( \log z:=\log r+\mathrm{i} \varphi \) ist eine Stammfunktion von \( \frac{1}{z} \) auf \( D \). Wir nennen \( \log z \) den komplexen Logarithmus von \( z \).
(b) Es seien \( z_{1}, z_{2} \in D \) beliebig. Dann gilt für jeden Weg \( \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C} \backslash\{0\} \) von \( z_{1} \) nach \( z_{2} \)
\( \int \limits_{\gamma} \frac{1}{z} d z=\log z_{2}-\log z_{1}+2 \pi \mathrm{i} k \)
für ein \( k \in \mathbb{Z} \).
(Hinweis: Eine Möglichkeit hierfür besteht darin, zu zeigen, dass die Funktion
\( g:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}, x \mapsto \frac{\gamma(a)}{\gamma(x)} \exp \left(\int \limits_{a}^{x} \frac{\gamma^{\prime}(t)}{\gamma(t)} d t\right) \)
konstant ist.)
(c) Umgekehrt gibt es für alle \( z_{1}, z_{2} \in D \) und \( k \in \mathbb{Z} \) einen Weg \( \gamma \) in \( \mathbb{C} \backslash\{0\} \) von \( z_{1} \) nach \( z_{2} \), so dass (*) gilt.
Problem/Ansatz:
Hallo :)
Für den Teil a haben wir eine Idee, aber bei b und c haben wir gar keine Idee (auch keine Ansatzidee).
