Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf A ist.

Question

a) Sei A=R×R und
R={((a,b),(c,d))∈A×A: a2 +b2 =c2 +d2}. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf A ist.
b) Geben Sie eine geometrische Interpretation der Äquivalenzklassen von R an.
c) Sei X eine beliebige Menge und S,Q zwei Äquivalenzrelationen auf X. Kann man zeigen, dass S∪Q ebenfalls eine Äquivalenzrelation ist?Falls dies nicht der Fall ist, geben Sie ein Gegenbeispiel an

Answer 1

a) Sei \(f(x,y)=x^2+y^2\), dann bedeutet \(((a,b),(c,d))\in R\) nichts anderes

als \(f(a,b)=f(c,d)\).

Reflexivität: \(f(a,b)=f(a,b)\) für alle \((a,b)\in A\)

Symmetrie: \(f(a,b)=f(c,d)\Rightarrow f(c,d)=f(a,b)\)

Transitivität: \(f(a,b)=f(c,d)\wedge f(c,d)=f(e,g)\Rightarrow f(a,b)=f(e,g)\)

b) Zwei Paare \((x_1,y_1), (x_2,y_2)\) liegen in derselben Äquivalenzklasse, wenn

\(x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2\) ist, d.h. wenn die Paare Punkte desselben

Kreises \(x^2+y^2=r^2\) sind. Die Äquivalenzklassen sind die konzentrischen

Kreise um den Ursprung.

c) Bitte selbst ein bisschen experimentieren !