Beweis, dass x und y gerade/ungerade sind

Question

Eine ganze Zahl z ∈ Z heißt gerade, wenn 2 Ι z gilt, andernfalls ungerade. Beweisen Sie:

(a) Sei \( x \in \mathbb{Z} . \) Ist \( x^{2}-6 x+3 \) gerade, dann ist \( x \) ungerade.

(b) Seien \( x, y \in \mathbb{Z} \). Gilt \( 4 \mid\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \), dann ist mindestens eine der Zahlen \( x, y \) gerade.

Muss man da mit einem Widerspruchsbeweis vorgehen?

Comments

Du kannst ja die jeweils kontrapositive Formulierung
der Aussage direkt beweisen. Ich stehe nicht so auf
Widerspruchsbeweise ;-)

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Weißt du denn die Lösung? Kannst sie gerne präsentieren, dann kann ich die mit meiner abgleichen

Answer 1

Zu (a):

ich zeige die Kontraposition: \(x\) gerade \(\Rightarrow x^2-6x+3\) ungerade.

Wenn \(x\) gerade ist, gibt es eine ganze Zahl \(z\) mit \(x=2z\).

Daher \(x^2-6x+3=4z^2-12z+3=2\cdot(2z^2-6z+1)+1\),

also ungerade.

Zu (b):

Kontraposition: \(x\) und \(y\) ungerade

\(\Rightarrow x^2-3y^2\) nicht durch \(4\) teilbar.

Beweis: es gibt ganze Zahlen \(r,s\) mit \(x=2r+1,\; y=2s+1\), also

\(x^2-3y^2=4r^2+4r+1-3(4s^2+4s+1)=4\cdot(r^2+r-3(s^2+s))-2\).

Das ist offenbar nicht durch 4 teilbar.

Comments

super vielen Dank