Aufgabe:
Abschätzung zeigen für Interpolationspolynom
Problem/Ansatz:
24) Wir wollen den Ausdruck \( \omega(x) \) aus Satz \( 3.2 \) abschätzen. Sei dazu o.B.d.A. \( x_{0}<x_{1}< \) \( \ldots<x_{n}, h:=\max _{i=0, \ldots, n-1} x_{i+1}-x_{i} \). Zeigen Sie:
\( \max _{x \in\left[x_{0}, x_{n}\right]}|\omega(x)| \leq \frac{n !}{4} h^{n+1} \)
Dabei besagt Satz 3.2:
Text erkannt:
Satz 3.2. Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine \( n+1 \) mal differenzierbare Funktion und sei \( P \) das durch \( n+1 \) Wertepaare \( \left(x_{i}, f_{i}=f\left(x_{i}\right)\right), i=0,1, \ldots, n \) eindeutig bestimmte Interpolationspolynom. Dann gibt es für jedes \( \bar{x} \) eine Zahl \( \xi \) in dem kleinsten Intervall \( I\left[x 0, \ldots, x_{n}, \bar{x}\right] \), das \( \bar{x} \) und alle Stützstellen \( x_{i} \) beinhaltet, sodass
\( f(\bar{x})-P(\bar{x})=\frac{\omega(\bar{x}) f^{n+1}(\xi)}{(n+1) !} \)
wobei
\( \omega(x):=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right) \)
Wie könnte ich dabei anfangen? Ich hab mal überlegt den Nenner des Bruchs auf die andere Seite zu bringen, da ja eine Fakultät vorkommt, aber wirklich weiter komme ich noch nicht.
