Probiere im Nenner eine der binomischen Formeln anzuwenden, multipliziere den Term also mit
\( \frac{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}}} \)
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\( \begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{\frac{1}{x}+a}-\sqrt{\frac{1}{x}} &=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}+a}-\sqrt{\frac{1}{x}}\right) \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}}} \right)\\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{a}{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{a}{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}} }\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{a \sqrt{x}}{\sqrt{1+a \sqrt{x}}+1} \\ &=\frac{\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} a \sqrt{x}}{\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{1+a \sqrt{x}}+1}=\frac{0}{2}=0 . \end{aligned} \)
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