Basis und Untervektorräume

Question

Und zwar wollte ich bei dieser Aufgabe fragen, ob man annehmen kann, dass u1 u2 bereits die Basis für U und u3 u4 die Basis von U‘ ist? Wenn nein wie müsste ich dann da vorgehen ?

Beim Bestimmen für den Schnitt würde ich dann die Linearkombination der Basis der Untervektorräume in ein homogenes LGS tun und ausrechnen.

Text erkannt:

b) Wir betrachten die Vektoren des Vektorraums $\mathbb{R}^{4}$
$u_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right), u_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 5 \\ 9 \end{array}\right), u_{3}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -13 \\ 23 \end{array}\right), u_{4}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right)$
Es seien $U:=\operatorname{Span}\left(u_{1}, u_{2}\right)$ und $U^{\prime}:=\operatorname{Span}\left(u_{3}, u_{4}\right)$ Untervektorräume von $\mathbb{R}^{4} .$ Bestimmen Sie jeweils eine Basis von $U, U^{\prime}$ und $U \cap U^{\prime}$.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Bei zwei Vektoren kannst du sehr schnell prüfen, ob sie linear abhängig sind oder nicht. Bei linearer Abhängigkeit, kann man nämlich den einen durch Multiplikation mit einem konstaten Faktor in den anderen überführen.

Die Vektoren $\vec u_1$ und $\vec u_2$ sind daher linear unabhängig. Ebenso sind die Vektoren $\vec u_3$ und $\vec u_4$ linear unabhängig. Daher sind die aufspannenden Vektoren auch mögliche Basisvektoren:$$\text{Basis}(U)=\left(\,\vec u_1\,;\,\vec u_2\,\right)\quad;\quad\text{Basis}(U')=\left(\,\vec u_3\,;\,\vec u_4\,\right)$$

Der interessante Teil der Aufgabe ist die Bestimmung des Schnittes der beiden Untervektorräume. Die Vektoren aus $\vec u\in U$ können als Linearkombination ihrer Basisvektoren geschrieben werden$$\vec u=a\left(\begin{array}{r}1\\3\\-2\\4\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{r}1\\1\\5\\9\end{array}\right)$$Das trifft auch auf die Vektoren $\vec u'\in U'$ zu:$$\vec u'=c\left(\begin{array}{r}2\\0\\-13\\23\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{r}1\\5\\1\\-2\end{array}\right)$$Wir schauen mal, ob es Vektoren gibt, die in beiden Unterräumen zugleich enthalten sind:$$\left.\vec u=\vec u'\quad\right|-\vec u'$$$$\left.\vec u-\vec u'=\vec 0\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.a\left(\begin{array}{r}1\\3\\-2\\4\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{r}1\\1\\5\\9\end{array}\right)-c\left(\begin{array}{r}2\\0\\-13\\23\end{array}\right)-d\left(\begin{array}{r}1\\5\\1\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\quad\right|\text{mit Matrix schreiben}$$$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & -2 & -1\\3 & 1 & 0 & -5\\-2 & 5 & 13 & -1\\4 & 9 & -23 & 2\end{array}\right)\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

Die Determinante dieser Matrix ist $-60$, also $\ne0$. Das heißt, das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar. Die einzige Lösung ist $a=b=c=d=0$. Es gibt also nur den Nullpunkt $\vec 0$, der sowohl in $U$ als auch in $U'$ liegt.

Ich weiß nicht, wie ihr das in der Vorlesung aufgeschrieben habt, ich würde den Nullvektor als Basis-Vektorr für $U\cap U'$ angeben.

Comments

Ich habe die Aufgabe genauso berechnet aber da überall 0 rauskam war ich mir unsicher, weil man bei uns gesagt hat, dass der Nullvektpr in jeder Base schon vorliegt oder so ähnlich.

Und bei der Berechnung von den Basen beim ersten Teil, ginge es nicht, wenn man die beiden Vektoren jeweils in eine Matrix überführt und in Zeilenstufenform umwandelt und die Vektoren dann als Basis nimmt?

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Du könntest im ersten Teil zur Bestimmung der Basen so verfahren, wie du beschrieben hast. Aber das ist ja gar nicht nötig. Es gibt nicht DIE EINE Basis, sondern es gibt unendlich viele Basen für einen Vektorraum. Es reicht, dass alle Vektoren linear unabhängig sind und den Raum aufspannen. Das ist bei den gegebenen Vektoren im Spann bereits der Fall, also kannst du sie auch als Basisvektoren wählen.

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Könnte man nicht dann für den zweiten Teil das gleiche Verfahren mit der Matrix verwenden? Für die Bestimmung der Basis die Basen in Zeilenstufenform zu bringen ?