Teilbarkeit mit Quersummenregel, Modulo

Question

Aufgabe

(a) Wir definieren die Quersumme einer Zahl als Summe ihrer Ziffern, also für eine Zahl \( a= \) \( a_{k} a_{k-1} \cdots a_{0} \) mit Ziffern

\( a_{i} \in\{0,1, \ldots, 9\} \) für \( i \in\{0,1, \ldots, k\} \) ist \( Q(a)=\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} . \) Zeigen Sie die Quersummenregel:
Eine Zahl \( a \in \mathbb{N} \) ist genau dann durch 3 teilbar, wenn \( Q(a) \) durch 3 teilbar ist.

(b) Sei \( a=a_{k} a_{k-1} \cdots a_{0} \) mit Ziffern \( a_{i} \in\{0,1, \ldots, 9\} \) für \( i \in\{0,1, \ldots, 9\} \) gegeben. Man bilde nun \( a^{\prime} \), indem man \( a_{0} \) streicht und das Doppelte von davon adpliert,
also \( a^{\prime}=a_{k} a_{k-1} \cdots a_{1}+2 \cdot a_{0} \). Man zeige, dass \( a \) genau dann durch 19 teilbar ist, wenn \( a^{\prime} \) durch 19 teilbar ist.

(c) Testen Sie (ohne Taschenrechner), ob 16074 durch 19 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe

Answer 1

a) Schreibe die Zahl als decimal Expansion
\( \begin{aligned} a \bmod 3 &=\left(\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} 10^{k}\right) \bmod 3=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(a_{k} 10^{k} \bmod 3\right)=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(a_{k} \bmod 3\right)(10 \bmod 3)^{k} \\ &=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(a_{k} \bmod 3\right)(1)^{k}=\left(\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k}\right) \bmod 3 \end{aligned} \)
b) 
\( \begin{aligned} a \bmod 19=0 & \Longleftrightarrow \sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} 10^{k} \bmod 19=0 \Longleftrightarrow \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} 10^{k} \bmod 19+a_{0} \bmod 19=0 \\ & \Longleftrightarrow 10 \sum \limits_{k=0}^{n-1} a_{k+1} 10^{k} \bmod 19+a_{0} \bmod 19=0 \\ & \Longleftrightarrow 20 \sum \limits_{k=0}^{n-1} a_{k+1} 10^{k} \bmod 19+2 a_{0} \bmod 19=0 \\ & \Longleftrightarrow\left(\sum \limits_{k=0}^{n-1} a_{k+1} 10^{k}+2 a_{0}\right) \bmod 19=0 \bmod 19 \end{aligned} \)

c) Kriegst du sicherlich alleine hin.

Bemerkung: Kannst du mir sagen, warum Schritt 3 in b) eine Äquivalenz und nicht nur eine Implikation ist (dann hast du es nämlich hoffentlich verstanden)? Wird dürfen ja nicht ohne weiteres teilen in der modularen Arithmetik!