Aloha :)
Wir bestimmen zuerst die Determinante der Abbildungsmatrix$$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2\\0 & 1 & 0\\3 & 0 & 1\end{pmatrix}$$indem wir sie durch elementare Zeilenumformungen vereinfachen:$$\operatorname{det}A=\begin{vmatrix}1 & 2 & 2\\0 & 1 & 0\\3 & 0 & 1\end{vmatrix}\stackrel{Z_1-=2Z_3}=\begin{vmatrix}-5 & 2 & 0\\0 & 1 & 0\\3 & 0 & 1\end{vmatrix}\stackrel{Z_1-=2Z_2}=\begin{vmatrix}-5 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\3 & 0 & 1\end{vmatrix}$$$$\phantom{\operatorname{det} a}=-5\begin{vmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\3 & 0 & 1\end{vmatrix}\stackrel{Z_3-=3Z_1}=-5\begin{vmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=-5$$
Da die Determinante \(\ne0\) ist, bilden die Spaltenvektoren der Matrix eine Basis des Bildes. Damit ist die Dimension des Bildes \(3\) und für den Kern bleibt nur die Dimension \(0\), also enthält er nur den Nullvektor.
Die Fixpunkte ermitteln wir mit Hilfe der Einheitsmatrix \(E\):$$A\cdot\vec v=\vec v\implies A\cdot\vec v-\vec v=\vec 0\implies A\cdot\vec v-E\cdot\vec v=\vec 0\implies(A-E)\cdot\vec v=\vec 0$$
Wir müssen also das folgende Gleichungssystem lösen:$$\begin{pmatrix}1-1 & 2 & 2\\0 & 1-1 & 0\\3 & 0 & 1-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{pmatrix}0 & 2 & 2\\0 & 0 & 0\\3 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Da brauchen wir nichts zu rechnen, denn wir können direkt zwei Bedingungen für die Koordinaten von \(\vec v\) ablesen:$$2v_2+2v_3=0\quad;\quad3v_1=0$$Damit ist \(v_1=0\) und \(v_3=-v_2\), sodass wir alle Fixpunkte angeben können:$$\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\v_2\\-v_2\end{pmatrix}=v_2\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$Der Lösungsraum der Fix-Vektoren ist also 1-dimensional und eine mögliche Basis besteht aus dem Vektor \((0|1|-1)\).
