Beweisen, dass f : V → W eine lineare Abbildung ist, so gilt V = ker(f)⊕T, wenn die Abbildung T -> im(f) bijektiv ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie
(i) Sind f : V → W eine lineare Abbildung und T ein Untervektorraum von V ,
so gilt V = ker(f)⊕T genau dann, wenn die Abbildung T → im(f), x → f(x)
bijektiv ist.
(ii) Ist f einen Endomorphismus eines Vektorraums V mit f ◦ f = f, so gilt
V = ker(f) ⊕ im(f).
(iii) Ist f einen Endomorphismus eines Vektorraums V , so gilt f ◦ f = f genau
dann, wenn es Untervektorräume U und W von V gibt, so daß V = U ⊕ W
und für alle (u, w) ∈ U × W gilt f(u + w) = w.

Problem/Ansatz:

Ich tue mich leider sehr schwer mit solchen abstrakten Aufgaben und verstehe nicht wie diese Aufgabe geht.

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

LG

Answer 1

(i) Sind f : V → W eine lineare Abbildung und T ein Untervektorraum von V ,
so gilt V = ker(f)⊕T genau dann, wenn die Abbildung T → im(f), x → f(x)
bijektiv ist.

"==>"  Seien T ein Untervektorraum von V und

              f : V → W eine lineare Abbildung  und

             V = ker(f)⊕T

Sei nun die Abbildung  g :  T → im(f),   x → f(x) .

1.   g Injektiv :   Seien y,z ∈  T mit g(y) = g(z)

                            also auch f(y)=f(z) .

              Wegen der Linearität von f also f(y-z)=0

                   ==>   y-z ∈  Kern(f)

          Weil T ein Unterraum ist und y,z ∈  T

          ist also auch y-z  ∈  T und damit

          y-z  ∈  T ∩ Kern(f) = {0}

    also  y-z=0 somit y=z somit g Injektiv.

2. g surjektiv : Sei z ∈ Im(f) , also existiert

x∈ V mit f(x) = z .  Wegen       V = ker(f)⊕T

gibt es eindeutig bestimmte  a∈Ker(f) und b∈T

mit  x = a+b also  z =  f(x) = f(a+b) = f(a)+f(b) = 0+f(b)

also z = f(b) mit b∈T, also  g surjektiv.

Versuche doch die Rückrichtung mal selbst und

frage ggf. nach.