Uneigentliche Integrale mit Grenze 0

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale:

\( \int \limits_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \)

Ansatz/Problem:

Die 1 macht ja hier Probleme, da die Funktion im Integral sonst durch 0 geteilt würde.. die Stammfunktion ist der arcsin, das habe ich auch schon gelöst. Nur wie berechnet man jetzt konkret den Flächeninhalt des uneigentlichen Integrals?

Answer 1

Nur wie berechnet man jetzt konkret den Flächeninhalt des uneigentlichen Integrals?

Du meinst sicher : Nur wie berechnet man jetzt konkret den Wert des uneigentlichen Integrals?

Betrachte dazu Integrale für 0≤z<1

\(\displaystyle\int \limits_{0}^{z}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\\=\left[\rule{0mm}{2.2ex}\arcsin(x)\right]_0^z=\arcsin(z)\)

Und davon den Grenzwert für z gegen 1, also ist das Ergebnis pi/2.

Comments

Ich habe mir erlaubt, die LaTeX-Darstellung aufzuhübschen.

:-)