Für welche Werte des Parameters a € R liegt ein eindeutige Lösbarkeit vor?

Question

Aufgabenstellung steht oben und hier ist die a)

I) 2x-5y=9

II) 4x+ay=5

Mein Ansatz war wie folgt:

I) 2x-5y=9 | *-2 => 4x+10y=-18

II) 4x+ay=5

und danach addiert:

10y+ay=-13, aber ehrlich gesagt verstehe ich nicht so ganz, was die Aufgabe von mir verlangt. Alternativ auch so:

10ay=-13

ay=1,3

und das dann wiederrum in eine der Gleichungen einsetzen, was aber keinen Sinn macht meiner Meinung nach.
)

Answer 1

Durch die Methodes des scharfen Hinsehens:

Das Gleichungssystem ist unlösbar für a = - 10 , denn dann sieht es so aus:

I) 2 x - 5 y = 9

II) 4 x - 10 y = 5

<=>

I) 4 x - 10 y = 18

II) 4 x - 10 y = 5

Das aber bedeutet: 18 = 5  und das ist immer falsch.

Mit den Methoden der linearen Algebra ermittelt man den Wert von a so:

Es gilt: Ein lineares Gleichngssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang seiner Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Es ist genau dann eindeutig lösbar, wenn dieser Rang gleich der Anzahl der Variablen (also der Spalten der Koeffizientenmatrix) ist.

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl ihrer Zeilen, die nach Umformung in die Stufenform keine Nullzeilen sind.

Also:

$$Rang\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 4 & a \end{pmatrix}=Rang\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 0 & a+10 \end{pmatrix}=\begin{cases} 1,falls\quad a=-10 \\ 2,falls\quad a\neq -10 \end{cases}$$$$ Rang\begin{pmatrix} 2 & -5 & 9 \\ 4 & a & 5 \end{pmatrix}=Rang\begin{pmatrix} 2 & -5 & 9 \\ 0 & a+10 & -13 \end{pmatrix}=2\quad für\quad alle\quad a$$$$\Rightarrow$$$$Rang\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 4 & a \end{pmatrix}=Rang\begin{pmatrix} 2 & -5 & 9 \\ 4 & a & 5 \end{pmatrix}\Leftrightarrow a\neq -10$$

Im Falle a ≠ - 10 ist der Rang der Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl ihrer Spalten, also ist das Gleichungssystem dann sogar eindeutig lösbar.