Bestimmen Sie (bis auf Isomorphie) alle Körper mit genau 4 Elementen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie (bis auf Isomorphie) alle Körper mit genau 4 Elementen.

(Hinweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei K = {0, 1, a, b}. Untersuchen Sie, inwieweit (K, +, ·), d.h. K zusammen mit Addition und Multiplikation dann bereits durch die
Körperaxiome notwendig bestimmt ist. Sie dürfen natürlich den Satz verwenden, welcher besagt, dass die Ordnung |G| durch die Ordnung |U| jeder Untergruppe U von G geteilt wird. Insbesondere trifft dies auf die zyklischen Gruppen, die von Elementen von G erzeugt werden, zu.)

Answer 1

Jeder Körper enthält mindestens zwei Elemente: Das additive neutrale Element (hier mit 0 bezeichnet), sowie das multiplikative neutrale Element (hier mit 1 bezeichnet). Außerdem gelten Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz.

Zur Multiplikationstafel: Es ist 0·x=0 und 1·x=x für alle x∈K. Damit hat man auf jeden Fall$$\begin{array}{c|cccc}\cdot&0&1&a&b\\\hline0&0&0&0&0\\1&0&1&a&b\\a&0&a&*&*\\b&0&b&*&*\end{array}$$Wegen der Eindeutigkeit des neutralen Elements ist a·b≠b und a·b≠a. Da es keine Nullteiler gibt, ist auch a·b≠0. Damit ist a·b=1, womit die Tafel komplett ist und so aussieht:$$\begin{array}{c|cccc}\cdot&0&1&a&b\\\hline0&0&0&0&0\\1&0&1&a&b\\a&0&a&b&1\\b&0&b&1&a\end{array}$$Zur Additionstafel: Es ist 0+x=x für alle x∈K. Da (K,+) eine Gruppe der Ordnung vier ist, gilt$$(1+1)\cdot(1+1)=1+1+1+1=0.$$Da es keine Nullteiler gibt, ist 1+1=0 und damit auch x+x=x·(1+1)=x·0=0 für alle x∈K. Damit hat man auf jeden Fall$$\begin{array}{c|cccc}+&0&1&a&b\\\hline0&0&1&a&b\\1&1&0&*&*\\a&a&*&0&*\\b&b&*&*&0\end{array}$$Da jede Zeile und jede Spalte jedes Körperelement genau einmal enthält, muss a+1=b sein, womit die Tafel komplett ist und so aussieht:$$\begin{array}{c|cccc}+&0&1&a&b\\\hline0&0&1&a&b\\1&1&0&b&a\\a&a&b&0&1\\b&b&a&1&0\end{array}$$Es gibt also (bis auf Isomorphie) höchstens einen Körper mit genau vier Elementen.

Answer 2

Stell doch einfach die Additions und die Multiplikationstabelle auf, so dass die Körperaxiome erfüllt sind.

Gruß lul