Überprüfe ob y = (c*x)/(1+x) die Allgemeine Lösung für die Differentialgleichung: x*(1+x)*y'-y = 0 ist.

Question

Allg. Lösung:

y = (c*x)/(1+x)

Differentialgleichung:
x*(1+x)*y'-y = 0

Einige zwischenschritte von mir!

∫1/y dy = ∫ 1/(x*(1+x)) dx

Partielle Integration:

1/(x*(1+x)) = A/x + B/(1+x)

A = -1

B = 1

1/y = -∫1/x + ∫ 1/(1+x)  |log

ln(y) = -ln(x) + ln(1+x) + C

Nun weiß ich nicht so recht wie ich weiter machen soll, ich müsste wohl nun mit 'e' weiter machen, aber selbst dann, wie würde ich auf die Allg. Lösung kommen ?

Comments

Partielle Integration:

Du meinst und machst ja eine Partialbruchzerlegung.

Meinst du nicht eher A = 1 und B=-1 ?

Answer 1

Behauptung: Sei \(y\) eine differenzierbare Funktion mit \(y(x)=x(1+x)y'(x)\). Dann existiert eine Konstante \(c\) mit \(y(x)=\dfrac{cx}{1+x}\).
Beweis: Definiere \(h(x):=\dfrac{1+x}xy(x).\) Dann ist nach Voraussetzung$$h'(x)=-\frac1{x^2}y(x)+\frac{1+x}xy'(x)=\frac{-y(x)+x(1+x)y'(x)}{x^2}=0.$$Es existiert also eine Konstante \(c\) mit \(h(x)=c\). Daraus folgt die Behauptung.

Answer 2

Ich hätte daher

ln(y) = ln(x) - ln(1+x) + C          |ln( a) - ln(b) = ln (a/b)

ln(y) = ln (x/(1+x)) + C             |e^{.....}

y = e^{ln(x/(1+x)) + C} = e^{ln(x/(1+x)) *e^C}

=  (x/(1+x)) *e^C        |e^C ist eine Konstante D=e^C

y = (Dx/(1+x))     

Comments

Du hast hier einfach die separierbare Differentialgleichung gelöst und dich nicht besonders um die Fragestellung gekümmert.
Zufällig kommt die richtige Lösung raus. Sollte also auch ok sein. - War aber vermutlich nicht die Idee des Erfinders der Aufgabe.

Vorgehen gemäss Aufgabenstellung: 1. Schritt: y' berechnen. 2. Schritt y und y' in die DGL einsetzen (alles geht auf!). 3. Schritt noch begründen, weshalb es keine weiteren Lösungen geben kann.