Zeige: f−1 muss im Allgemeinen nicht stetig sein

Question

Aufgabe:

Seien (X, d_X) und (Y, d_Y ) metrische Räume und f : X → Y stetig und bijektiv.
1. Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung f⁻¹ im Allgemeinen nicht stetig sein muss.
2. Sei X kompakt. Zeigen Sie, dass f⁻¹ in diesem Fall stetig ist.

Problem/Ansatz:

Wäre über Ansätze erfreut.

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?

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Die Aufgabe, hab versucht sie im Titel gekürzt wiederzugeben

Answer 1

Zu 1.:

Sei \(X=Y=\mathbb{R}\), \(d_X\) die diskrete Metrik

und \(d_Y\) die Standardmetrik.

Wir betrachten die identische Abbildung

\(f:X \rightarrow Y,\; x\mapsto x\).

Dann ist \(f\) stetig, aber \(f^{-1}:Y\rightarrow X, \; x \mapsto x\) nicht.

Comments

Danke, ich verstehe nicht ganz wieso f^-1 nicht stetig ist

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\(f^{-1}\) ist genau dann stetig, wenn \(f\) eine offene Abbildung ist,

d.h. wenn das Bild jeder offenen Menge wieder offen ist.

Nun sind in der diskreten Topologie von \(X\) die einelementigen

Mengen \(\{x\}\) offen, aber \(f(\{x\})=\{x\}\) ist in der Standardmetrik

nicht offen (, sondern abgeschlossen).