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Aufgabe:


Begründen Sie, dass die folgenden R-Integrale existieren und berechnen Sie diese.
(i) \( \int \limits_{A}\left(\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right) \) für \( A:=[1,2]^{2} \).
(ii) \( \int \limits_{A} x_{1} \cos \left(x_{1}^{2}+x_{2}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right) \) für \( A:=\left[-\sqrt{\frac{\pi}{2}}, \sqrt{\frac{\pi}{2}}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \).

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Aloha :)

Beide Funktionen sind über ihrem jeweiligen Definitionsbreich \(A\) stetig und daher auch R-integrierbar.

zu i) Die Integrationsreihenfolge ist egal, weil die Integrationsgrenzen der einen Variable von der anderen Varibalen unabhängig sind. Wir integrieren zuerst über \(dy\):

$$I_1=\int\limits_A\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)d(x;y)=\int\limits_{x=1}^2\;\int\limits_{y=1}^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)dy\,dx=\int\limits_{x=1}^2\left[\frac{y}{x^2}-\frac1y\right]_{y=1}^2dx$$$$\phantom{I_1}=\int\limits_{x=1}^2\left(\left(\frac{2}{x^2}-\frac12\right)-\left(\frac{1}{x^2}-1\right)\right)dx=\int\limits_{x=1}^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac12\right)dx=\left[-\frac1x+\frac x2\right]_{x=1}^2$$$$\phantom{I_1}=\left(-\frac12+1\right)-\left(-1+\frac12\right)=1$$

zu ii) Auch hier ist die Integrationsreihenfolge mit der gleichen Begründung wie bei (i) egal. Auf den ersten Blick sollten wir mit der Integration über \(dx\) beginnen, da die innere Ableitung der Cosinus-Funktion bis auf den fehlenden Faktor \(2\) schon als Faktor im Integranden vorkommt:$$I_2=\int\limits_Ax\cos(x^2+y)\,d(x,y)=\int\limits_{y=0}^{\frac\pi2}\;\;\int\limits_{x=-\sqrt{\frac\pi2}}^{\sqrt{\frac\pi2}}x\cos(x^2+y)\,dx\,dy$$$$\phantom{I_3}=\int\limits_{y=0}^{\frac\pi2}\left[\frac12\sin(x^2+y)\right]_{x=-\sqrt{\frac\pi2}}^{\sqrt{\frac\pi2}}\,dy=\int\limits_{y=0}^{\frac\pi2}\left(\frac12\sin\left(\frac\pi2+y\right)-\frac12\sin\left(\frac\pi2+y\right)\right)\,dy=0$$

von 124 k 🚀

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