Zeigen Sie, dass ℤ= spanℤ(2,3) = spanℤ(1).

Question

Aufgabe:

Der einfachste Ring ist ℤ und span_ℤ kann analog zu span_K für
einen Körper K definiert werden. Zeigen Sie, dass

ℤ= span_ℤ(2,3) = span_ℤ(1).

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht so recht wie ich die Aufgabe lösen soll, könnte jemand helfen?

LG Blackwolf

Comments

Der einfachste Ring ist ℤ

Das ist ja mal Unfug... Der einfachste Ring ist definitiv der Nullring. Aber ok

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Es ist

$\text{span}_\mathbb Z(2,3) = \{ 2a+3b ~|~ a,b \in \mathbb Z \}$

$\text{span}_\mathbb Z(1) = \{ 1c ~|~ c \in \mathbb Z \} = \mathbb Z$

Dass der Span von 1 den ganzen Ring bildet ist denke ich klar ... Wir wollen eine Gleichheit von zwei Mengen zeigen. Dazu zeigen wir die beiden Inklusionen:

$\text{span}_\mathbb Z(2,3) \subseteq \text{span}_\mathbb Z(1)$:

Z.Z. ist also 2a+3b = 1c für ein $c \in \mathbb Z$ aber da bereits $2a+3b \in \mathbb Z$, wähle $c = 2a+3b$.

$\text{span}_\mathbb Z(2,3) \supseteq \text{span}_\mathbb Z(1)$:

Haben wir hingegen ein Element von der Form 1c müssen wir nun a,b finden mit 1c = 2a + 3b

Wir halten fest, dass ggT(a,b) = 1 = 2 * (-1) + 3 * 1 ist (Raten oder erweitertet euklidischer Algorithmus)

Also erhalten wir $1c = 2 \cdot (-1 \cdot c) + 3 \cdot (1 \cdot c)$. Wir wählen deshalb $a := -c \in \mathbb Z$ und $b := 1c \in \mathbb Z$

Das ist ein ziemlich elementarer Weg.

Du könnest auch z.B. begründen, warum

$\text{span}_\mathbb Z (a_1,...,a_n) \subseteq \text{span}_\mathbb Z(b_1,...,b_m) \iff a_1,...,a_n \in \text{span}_\mathbb Z (b_1,...,b_m)$

Dann kann man sich auch etwas Schreibarbeit sparen.