Beweise oder widerlege: Ist die folgende Abbildung linear?

Question

Aufgabe:Seien X und Y nicht-leere Mengen, sei K ein Körper, und sei g : Y → X. Ist die Abbildung
T : Abb(X, K) → Abb(Y, K),  f → f ◦ g
linear?

Problem/Ansatz:

hat jemand eine Idee wie man schrittweise vorgehen soll?

Answer 1

Du musst also zeigen: Für alle u,v ∈ Abb(X, K) gilt T(u+v)=T(u) + T(v).

Und weil T(u+v)   und  T(u) + T(v) beides Abbildungen von Y nach K sind,

muss man also zeigen: Für alle y∈Y gilt  (T(u+v))(y) =(T(u) + T(v))(y).

Seien also u,v ∈ Abb(X, K) .

Dann gilt (T(u+v))(y)  nach Def. von T

= ((u+v)o g )(y)   nach Def. von o

= (u+v)(g (y) )   nach Def. von + für Abb'en

=u(g(y)) + v(g(y))   nach Def. von o

=(uog)(y) + (vog)(y)  nach Def. von + für Abb'en

=( (uog)+ (vog) )(y)   nach Def. von T

= (T(u) + T(v) ) (y) .

Also ist T jedenfalls additiv.

Homogenität geht wohl entsprechend.