zu zeigen : an ≤ \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}

Question

Aufgabe:

Sei an = \( (1 + \frac{1}{n})^{n} \). Zeigen Sie, dass:

an ≤ \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}} \)

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir bei Induktionsschritt helfen?

Danke sehr im Voraus:

fG

Comments

vgl:

https://mathepedia.de/Die_Zahl_e.html

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Ich würde es nicht mit Induktion beweisen.

Answer 1

Nach dem Binomischen Satz ist$$(1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}(\frac{1}{n})^k$$

Ich zeige, dass der \(k\)-te Summand \(\leq \frac{1}{k!}\) ist.

Das ist äquvalent zu$$\frac{n!}{(n-k)!n^k}\leq 1$$

Für die linke Seite können wir schreiben$$\frac{n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot (n-k+1)}{n^k}=\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\leq 1\cdot 1\cdots1 =1$$

Comments

danke danke!