Zeigen Sie: Die Folge (an ) konvergiert genau dann, wenn jede der Teilfolgen (a2k ), (a2k-1 ) und (a3k ) konvergiert.

Question

Aufgabe:

Sei (a_n ) eine Folge. Zeigen Sie: Die Folge (a_n ) konvergiert genau dann, wenn jede der Teilfolgen (a_2k ), (a_2k-1 ) und (a_3k ) konvergiert.

Gilt die Aussage auch, wenn (a_3k ), als nicht konvergent angneommen wird, die anderen schon?

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist folgende Aussage korrekt zu beweisen, vielen Dank im voraus.

Answer 1

Wenn die Teilfolge (a_2k ) konvergiert, ist ihr Grenzwert ein Häufungspunkt der Gesamtfolge.

Wenn die Teilfolge (a_2k-1 ) konvergiert, ist ihr Grenzwert auch ein Häufungspunkt der Gesamtfolge.

Wichtig: Die beiden Teilfolgen decken die Gesamtfolge ab. Somit hat die Gesamtfolge höchstens zwei Häufungspunkte.

Die Folge (a_3k )  bedient sich abwechselnd in den beiden angegebenen Teilfolgen.

Ist damit die Annahme von zwei (verschiedenen) Häufungspunkten noch zu halten?

Comments

Danke für deine schnelle Antwort und deine Tipp, ich hoffe ich habe deine Frage richtig verstanden und meine, dass es dann bei 2 Häufungspunkten bleibt, da aus a_2n -> a und

a_2n-1 folgt H((a_n )) = {-1,1}

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Das hast du absolut falsch verstanden. Wenn auch (a_3k ) konvergiert, bleibt kein Raum für zwei verschiedene Häufungspunkte in (a_3k )

Wieso deiner Meinung nach ausgerechnet -1 und 1 Häufungspunkte sein sollen, ist auch völlige Spekulation.

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Ja mein Fehler, meinte a und b, statt -1 und 1. kannst du mir vielleicht noch erklären, was mir nun die Erkenntnis der Häufungspunkte für meinen Beweis bringt?