Überprüfen Sie jeweils, ob die Spalten der Matrix eine Basis von Bild(Aj) bilden.

Question

ich sitze gerade an folgender Aufgabe (3.b):

Ich habe bisher folgendermaßen das Bild von A₁ ermittelt und bin mir unsicher, wie ich überprüfen kann, ob die Spalten von A₁ auch eine Basis dieses Bildes sind. Zudem weiß ich auch nicht, ob dieser etwas komplizierte Lösungsweg notwendig ist oder überhaupt zielführend ist und, ob es vielleicht ein viel simpleres Verfahren gibt.

Mein Ansatz bzw. Lösungsweg:

Bestimmung des Bildes von \( A_{1} \) :
1. Transposition von \( A_{1} \) :
\( A_{1}^{T}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{array}\right) \)
2. \( A_{1}^{T} \) auf Zeilenstufenform bringen:
\( \begin{array}{c} A_{1}^{T}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{array}\right) \stackrel{I \leftrightarrow I V}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & \frac{3}{2} \end{array}\right) \stackrel{I V \leftarrow I V+\frac{1}{2} \cdot I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & \frac{3}{2} \end{array}\right) \stackrel{I I \leftrightarrow I V}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \\ \underset{I V \leftarrow I V-\frac{1}{3} \cdot I I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \stackrel{I V \leftarrow I V+\frac{1}{2} \cdot I I I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} -2 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{array} \)
3. \( A_{1}^{T} \) transponieren:
\( =\left(\begin{array}{cccc} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & \frac{3}{2} & 1 & 0 \end{array}\right) \)

4. Die Spaltvektoren, in denen nicht ausschließlich Nullen vorkommen, gehören zum Bild der Matrix:
\( \operatorname{Bild}\left(A_{1}\right)=\left\langle\left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \\ \frac{3}{2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right\rangle \)

Ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Wie kann ich überprüfen, ob die Spalten der Matrix eine Basis dieses Bildes sind?

Ich würde mich sehr über Tipps und Antworten freuen :)

Comments

Hallo,

wenn es nur um die "nackte" Frage in b) geht, dann ist die mit a) schon beantwortet. Denn der Rang gibt ja die Zahl der linear unabhängigen Spalten an. Die Spalten sind ein Erzeugendensystem für das Bild. Wenn der Rang mit der Anzahl der Spalten übereinstimmt, handelt es sich um eine Basis, sonst nicht.

Wenn die Spalten linear abhängig sind, kann man eine Basis aus den Spalten bestimmen. Das von Dir verwandte Verfahren ist dafür geeignet. Allerdings hast Du Dich gleich im ersten Schritt verschrieben.

Bei den Beispielen kann man eine Basis jeweils direkt erkennen.

Gruß Mathhil