Bestimme das Verhältnis c/a.

Question

In einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c sei a<b<c und a/b=b/c=cos(α), wobei α gegenüber der Seite mit der Länge a liegt. Bestimme das Verhältnis c/a als reelle Zahl.

Answer 1

a/b=b/c=cos(α)

ges: c/a

Lös.

a²=b²+c²-2bc cos(α)

a²=b²+c²-2bc* b/c

a²=b²+c²-2b²

a²=c²-b²

a²+b²=c²

b²=ac laut Voraussetzung

a²+ac=c²

Sei a=1 → c/a=c

c²-c-1=0

c=0,5±√(0,25+1)

Wegen c>0:

$\dfrac ca=\dfrac{1+\sqrt5}{2}=\Phi$

Answer 2

$\frac{a}{b}$ =$\frac{b}{c}$ =cos(α)

$\frac{a}{b}$=cos(α) → b=$\frac{a}{cos(α) }$

$\frac{b}{c}$ =cos(α)→ b=cos(α)*c

$\frac{a}{cos(α) }$=cos(α)*c

a=cos²(α)*c

$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{cos^2(α)}$

Comments

Die Aufforderung "bestimme" soll heißen, dass eine reelle Zahl gesucht ist, welche das Verhältnis c/a nennt.

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a=4,47    b=6,4

$\frac{a}{b}$=$\frac{4,47}{6,4}$

$\frac{b}{c}$=$\frac{4,47}{6,4}$

$\frac{6,4}{c}$=$\frac{4,47}{6,4}$

c≈9,16

cos(α)=$\frac{a}{b}$

cos(α)=$\frac{4,47}{6,4}$=0,698437

cos(α)=$\frac{b}{c}$

cos(α)=$\frac{4,47}{6,4}$=0,698437

$\frac{c}{a}$=$\frac{9,16}{4,47}$≈2,05

$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{cos^2(α)}$

2,05=$\frac{1}{0,698437^2}$