Wenn K Charakteristik p hat existiert eine Körperhomomorphismus (immer injektiv)
\( i : ℤ/pℤ \hookrightarrow K \)
Das Bild \( F := \operatorname{Bild}(i) \subseteq K \) ist ein Teilkörper von \( K \) mit genau p Elementen.
Jetzt ist K aber auf natürliche Weise ein F-Vektorraum, und zwar ein endlichdimesnionaler. D.h. es existiert ein Isom
$$ K \cong F^{\dim_F(K)} $$
Das ist eine Bijektion, also
$$ |K| = \left| F^{\dim_F(K)} \right| = |F|^{\dim_F(K)} = p^{\dim_F(K)} $$
