Für welche c∈ℝ ist Bc ein Körper?

Question

Aufgabe: Für welche c∈ℝ ist B_c ein Körper?

Problem/Ansatz: Betrachte für c∈ℝ den kommutativen Ring B_c:= ℝ[X]/(X2+c)

Für welche c∈ℝ ist B_c ein Körper?

Answer 1

\(B_c\) ist ein Körper, wenn \(B_c\) nullteilerfrei ist.

Das ist genau dann der Fall, wenn \(X^2+c\) nicht in Linearfaktoren

zerfällt, d.h. wenn dieses Polynom keine reelle Nullstelle besitzt,

also wenn \(c>0\) ist.

Comments

Für welche c∈ℝ wäre B_c dann isomorph zu ℝ?

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Für kein \(c\) !

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Wie bist du darauf gekommen? Ich kann das nicht ganz nachvollziehen...

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\(B_c\) ist ein 2-dimensionaler \(\mathbb{R}\)-Vektorraum.

Eine Basis ist \(\{1, \; X+(X^2+c)\}\). Also gilt insbesondere

\(B_c\neq \mathbb{R}\) für alle \(c\).