Untersuchen Sie ob Grenzwerte existieren

Question

Hallo! Ich bin gerade dabei Übungsaufgaben zu machen, bei einigen Aufgaben konnte ich etwas lösen aber bei folgenden Aufgaben komme ich nach mehreren Stunden nicht auf die Lösungen.. Mein Buch zeigt mir leider keinen Lösungsweg sondern nur das Ergebnis an. Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand bei den folgenenden Aufgaben einen Rechenweg zeigen könnte! :-)
Untersuchen Sie, welche der folgenden Grenzwerte existieren und berechnen Sie diese gegebenenfalls. Falls der Grenzwert von f für x → x0 nicht existiert, so bestimmen Sie die einseitigen Grenzwerte für x → x0+ und x → x0−.

lim                   6x³ -2x² -3-x⁴
                      -----------------------
x-->unendlich   5-8x⁴-x²

(sorry für die Schreibweise, die gestrichelten Linien bedeuten ein Bruchstrich auch lim x--> unendlich stehen untereinander)

lim       x²+2x-8
            -------------
x-->2    x²-4x+4


lim.       9-7x
          ---------
z-->2    x³ -2



lim         (8^-1/x -2 1/x+3)
x--> -3 -  

lim       3-2x²-5x
x-->-3    -------------
          x²+8x+15

Eine andere Aufgabe wo ich nicht auf das Ergebis komme lautet:

gegeben ist eine Funktion f: R--> R mit

f(x) = 1/ e^x-1+5x-1 für x < 1
      √a(2x+3)(x+4) für x > 1

1) Untersuchen Sie die Funktion f für x ≠ 1 auf Stetigkeit
2) für welchen wert a ist f stetig für alle x E R. Begründen sie ihre Antwort

Ich bin für jede Hilfe dankbar

Answer 1

1. $\lim\limits_{x\to\infty} \frac {6x^3 -2x^2 -3-x^4}{5-8x^4-x^2}$

Mit der größten Potenz von x, die im Nenner vorkommt, kürzen gibt

$\lim\limits_{x\to\infty} \frac { \frac{6}{x} -\frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^4}-1}{\frac{5}{x^4}-8-\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{8}$

2. Der Term kann umgeformt werden:

$$\frac {x^2+2x-8}{x^2-4x+4}=\frac {(x+4)(x-2)}{(x-2)^2}=\frac {x+4}{x-2}$$

Also rechtsseitiger Grenzwert +∞  und linksseitiger -∞.

3. stetige Funktion:  Für x≠1 ist es überall stetig nach den

gängigen Sätzen: Stetigkeit von Summe, Produkt etc. stetiger

Funktionen.

Da f bei x=1 nicht definiert ist, kann es dort niemals stetig sein.

Vielleicht soll es aber so sein, dass du einen Vorschlag

machen sollst, wie f(1) zu definieren ist, damit f dort stetig wird.

( sog. stetige Ergänzung). Betrachte dazu rechts- und linksseitigen

Grenzwert an der Stelle und definiere f(1) so, dass beide mit

f(1) übereinstimmen.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Hilfe!

Haben Sie eventuell für meine anderen Fragen auch einen Rechenweg, damit ich auch diese nachvollziehen kann?

Mit freundlichen Grüßen

Answer 2

Hallo

bei x->oo immer durch die höchste Potenz von x teilen, dann verschwinden alle ausdrücke mit x im Nenner, meist bleibt eine Zähl übrig.

wenn wie in 2 ten Zähler und Nenner an der Stelle 0 werden versucht ma zu kürzen

Zähler (x+4)*(x-2) Nenner (x-2)² es bleibt im Nenner x-2 übrig also ist der GW oo

3. einfach x=3 einsetzen

4. unlesbar

5. wieder in Faktoren zerlegen und kürzen

letzte wieder wegen fehlender Klammern nicht lesbar, wahrscheinlich den GW wie bei den anderen für x gegen 1 bestimmen so dass er mit dem passenden a der gleiche ist  im Rest stetig weil aus stetigen Funktionen zusammengesetzt

Gruß lul

Comments

Bei 3) darf ich fragen was du genau meinst mit einfach x=3 einsetzen?

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Ja, die Frage ist berechtigt, nich x=3 -das war ein Tipfehler wie dein z- sondern x=2

Gruß lul