Für alle x ∈K mit x ungleich 0 gilt: (x-1 )-1 = x

Question

Aufgabe:

Für alle x ∈K mit x ungleich 0 gilt: (x^-1 )^-1   = x

Ich verstehe leider die Lösung nicht:

x=x*1                            // Verstehe ich, da x nichts anderes ist als x*1

x*(x*x^-1 )                        // Verstehe ich auch, da laut M4 Existenz des Inversen 1= x*x^-1

(x*x^-1 ) * (x^-1 )^-1                  // Das hier verstehe ich nicht wie kommt man hierdrauf? Von wo kommt jetzt das (x^-1 )^-1

1* (x^-1 )^-1                              // Verstehe ich

(x^-1 )^{-1                                     //}Verstehe ich

Answer 1

Hallo,

ich vermute, Du hast das irgendetwas nicht mitgeschrieben. Für mich wird das so verständlich: \(x \in K\) (ich vermute K ist ein Körper?) ist fest. Dann gilt

$$\forall z \in K: \quad x=x \cdot 1=x(zz^{-1})$$

Das wenden wir jetzt auf \(z:=x^{-1}\) an:

$$x=x[x^{-1}(x^{-1})^{-1}]=[xx^{-1}](x^{-1})^{-1}=1  \cdot (x^{-1})^{-1}$$

Gruß Mathhilf