Wieso wird der Limes hier gleich 0? lim ((-1)^n ((2n+1)/(n^2 + 1))

Question

Aufgabe:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left((-1)^{n} \cdot\left(\frac{2 n+1}{n^{2}+1}\right)\right) =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left((-1)^{n}\right) \cdot \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{2 n+1}{n^{2}+1}\right)\right) \\ =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left((-1)^{n}\right) \cdot \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 n}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+1}\right) \\ =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left((-1)^{n}\right) \cdot\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 n}{n^{2}+1}\right)+\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}\right)\right) \\ =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left((-1)^{n}\right) \cdot\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 n}{n \cdot\left(n+\frac{1}{n}\right)}\right)+\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}\right)\right) \\ =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left((-1)^{n}\right) \cdot\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{n+\frac{1}{n}}\right)+\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}\right)\right) \\ =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left((-1)^{n}\right) \cdot\left(\frac{2}{\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(n+\frac{1}{n}\right)}\right)+\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}\right) \\ =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left((-1)^{n}\right) \cdot(0+0) \\ =0 \)

Mir ist soweit alles klar, außer wieso man in der 6. Zeile plötzlich den Limes vor den Zähler schreibt und wie man von der 6. zur 7. Zeile kommt, also wieso wird hier beides 0?

Answer 1

Wenn bei einem Bruch der Limes des Zähler berechnet  werden kann und eine endliche Zahl ergibt,

ist der Limes des Bruchs gleich der Limes des Zählers dividiert durch den Limes des Nenners.

also wieso wird hier beides 0?

In beiden Summanden ist der Zähler eine reelle Zahl und der Nenner geht gegen unendlich. Darum sind beide Summanden im Grenzwert 0.

Comments

Anderer Weg zum Resultat:

lim ((-1)^n ((2n+1)/(n^2 + 1))           |oben und unten durch n^2

= lim ((-1)^n ((2/n+1/n^2) /(1 + 1/n^2))

= lim ((-1)^n * (2/n+1/n^2)) /(1 + 1/n^2))

=  lim ((-1)^n * (2/n+1/n^2)) / lim (1 + 1/n^2))

= 0/1 = 0

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Schonmal vielen Dank für die Antworten, also sehe ich das richtig, dass ich bei solchen Aufgaben immer versuchen muss diese Situation herzustellen: reelle zahl im Zähler und Nenner gegen unendlich?

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Wenn der Nenner auch gegen eine reelle Zahl geht, ist das nicht so tragisch, vgl. mein Rechenweg oben. Ich ändere den noch, um zu zeigen, wo ein Problem entstehen kann.

 

lim ((-1)ⁿ ((2n²+1)/(n² + 1))           |oben und unten durch n² 

= lim ((-1)ⁿ ((2+1/n²) /(1 + 1/n²))

= lim ((-1)ⁿ * (2+1/n²)) /(1 + 1/n²))

=  lim ((-1)ⁿ * (2+1/n²)) / lim (1 + 1/n²))      |Nenner wird noch 1.

=  lim ((-1)ⁿ * (2+1/n²)) /1)       |aber Zähler schwankt zwischen fast -2 und fast 2.

Grenzwert existiert nicht. 

Die beiden Häufungspunkte wären (falls gefragt) 2 und - 2.