Äquivalenz zweier konvergenter Reihen

Question

Aufgabe:

Vor.:

Zwei, reelle Folgen (a_n) mit a_n ≥ 0 für alle n ∈ ℕ  sind gegeben.

z. z.:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ ist konvergent ⇔ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{a_n+1}}$ ist konvergent

Problem/Ansatz:

Die Richtung ⇒ habe ich jetzt mit dem Majorantenkritierum gezeigt. Da ja stets $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ ≥ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{a_n+1}}$ gilt.

Ist das soweit in Ordnung?

Leider habe ich für die Rückrichtung ⇐ gar keine Ahnung. Hat da jemand einen Tipp oder könnte eine Lösung vorstellen? Ich bedanke mich für eure Mühe und Aufmerksamkeit.

Weihnachtliche Grüße,

eure Oblate

Comments

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$  ⇔ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{a_n+1}}$

Was bedeutet "⇔" in diesem Zusammenhang?

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Oh, das war mein Fehler. Habe es jetzt noch einmal ausgebessert. Es sollten natürlich zwei Aussagen sein.

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$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ ≥ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{a_n+1}}$ für alle n ∈ ℕ 

Der Quantor "für alle n ∈ ℕ" ist hier sinnlos, weil in

        $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ ≥ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{a_n+1}}$

n überhaupt nicht als freie Variable vorkommt.

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Hab das auch noch rausgenommen und durch stets ersetzt. Aber das Majorantenkritierum kann man schon prinzipiell anwenden für die "⇒"-Richtunga, oder?

Nur die für die Rückrichtung fehlt mir kein sinnvolles Kriterium ein.

Danke schon mal für die Hinweise =)

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durch stets ersetzt

"Stets" ist ein etwas informell formulierter Quantor.

Meinst du nicht eher

        $a_n \geq \frac{a_n}{a_{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$?

Das wäre falsch wegen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \coloneqq \left(\frac{1}{2}\right)_{n\in \mathbb{N}}$.

Answer 1

Zu "$\Leftarrow$":

Sei $\sum\frac{a_n}{a_n+1}$ konvergent. Dann ist $(\frac{a_n}{a_n+1})$ eine Nulllfolge.

Daher gilt für fast alle $n$: $\frac{a_n}{a_n+1}\lt \frac{1}{2}$, folglich

$a_n\lt 1$ für fast alle $n$, d.h. $(a_n)$ ist eine beschränkte Folge und

somit ist auch $(a_n+1)$ eine beschränkte Folge.

Nach einem Satz über Reihen $\sum b_n$ mit Gliedern $b_n\geq 0$

und beschränkten Folgen $(c_n)$ mit $c_n\geq 0$ gilt:

$\sum b_n$ konvergent $\Rightarrow \sum c_nb_n$ konvergent.

Also ist $\sum a_n=\sum (a_n+1)\cdot \frac{a_n}{a_n+1}$ konvergent.

Der zitierte Satz bedeutet nichts Anderes, als dass

$\sum(Kb_n)=K\cdot \sum b_n$ für $|c_n|\leq K$ eine konvergente Majorante

für $\sum c_nb_n$ ist