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Aufgabe:

Sei f : RR f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} die 2-periodische (nicht: 2π 2 \pi -periodische!) Abbildung, die gegeben ist durch

f(x) : ={1,x[0,1)1,x[1,2) f(x):=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \in[0,1) \\ -1, & x \in[1,2) \end{array}\right.

(a) Bestimmen Sie die reelle Fourier-Reihe von f f .

(b) Lösen Sie die partielle Differentialgleichung
ut=uxx, fu¨x(0,2),t(0,) u_{t}=u_{x x}, \quad \text { für } \quad x \in(0,2), t \in(0, \infty)
mit
u(0,t)=0=u(2,t) und u(x,0) : =f(x) u(0, t)=0=u(2, t) \quad \text { und } \quad u(x, 0):=f(x)
Aufgabe P 43 . Lösen Sie die partielle Differentialgleichung
ut=uxx+sin(3x), fu¨x(0,π),t(0,) u_{t}=u_{x x}+\sin (3 x), \quad \text { für } \quad x \in(0, \pi), t \in(0, \infty)
mit
u(0,t)=0=u(π,t) und u(x,0)=0 u(0, t)=0=u(\pi, t) \quad \text { und } \quad u(x, 0)=0

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Zur P42a)

 

Als erstes eine Skizze, dann fällt auf, dass unser Intervall zwischen 0 und 2 liegt und bzgl x = 1 Punktsymmetrie vorliegt. Das kann ausgenutzt werden.

 

Ansatz:

ak = 0   (Punktsymmetrie)

bk=2202f(x)sin(nπ(x1))  dxb_k = \frac{2}{2}\int_0^2 f(x) \sin(n\pi(x-1))\; dx

Beachte, dass es x-1 ist, da wir Punktsymmetrie nicht zum Ursprung, sondern zu x = 1 haben.

Diese ausnutzen:

=201sin(nπ(x1))=2((1)n1)πn= 2\int_0^1 \sin(n\pi(x-1)) = \frac{2((-1)^n-1)}{\pi n}

Folglich lautet die Fourierreihe

f(x)n=12((1)n1)πnsin(nπ(x1))f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2((-1)^n-1)}{\pi n}\sin(n\pi(x-1))

 

Zu den partiellen DGL's: Wie gesagt, ich bin hier kein Freund von.

Aber generell ist es immer das gleiche Schema.

Annehmen, dass wt/w = vxx/v = λ (also konstant) sein muss und lösen.

 

Grüße

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Fourierreihe: mit T=2

f(x) = a0/2 + ∑(n=0..∞) an * cos(nπx) + bn *sin(nπx)

Da f(x) ungerade, gilt:

an = 0

bn = 4/T * ∫(x=0..T/2) bn *sin(nπx) *f(x) dx = 2 *∫(x=0..1) bn *sin(nπx) dx

= 2* [-1/(nπ) * cos(nπx)]01

= -2/(nπ) * (cos(nπ) -1)

für n gerade: bn = 0

für n ungerade: bn = 4/(nπ)

mit n=2k+1  (k∈ℕ0) gilt:

f(x) = 4/π * ∑(k=0..∞) 1/(2k+1) *sin((2k+1)πx)

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