Integralrechnung - Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral mittels Partialbruchzerlegung

\(\int \frac{x+1}{2x^2-x-1}\)

Problem/Ansatz:

Hallo Lounger,

Ich habe bei der Berechnung der Nullstellen die "2" zunächst ausgeklammert und dann wieder damit multipliziert. Damit kam ich auf die Lösung

\(F(x)=-\frac{1}{3}\text{ln}(2x+1)+\frac{2}{3}\text{ln}(x-1)+C\)

Richtig ist aber

\( F(x)=\frac{2}{3} \ln (x-1)-\frac{2}{3} \ln (x-1)+\frac{1}{6} \ln (2 x+1) \)

Wo liegt mein Fehler?

Gruß, Silvia

Comments

Ohne deine genaue Rechnung ist ein Fehler nur schwer aufzuspüren.

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Ich komme auf

\( \int \frac{x+1}{2 x^{2}-x-1} d x=\frac{2}{3} \int \frac{1}{x-1} d x-\frac{1}{3} \int \frac{1}{2 x+1} d x \)

Und damit auf

\( \int \frac{x+1}{2 x^{2}-x-1} d x=\frac{2}{3} \ln |x-1|-\frac{1}{6} \ln |2 x+1|+C \)

In der ‚richtigen Lösung‘ ist vermutlich ein Schreibfehler.

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Dankeschön, wobei ich "Schreibfehler" in diesem Fall etwas untertrieben finde.

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Man sollte wissen, dass man keiner Musterlösung und keinem Geschriebenen von KI zu 100% vertrauen sollte.

Aber hier sieht man doch schon an zwei Merkmalen, dass die Musterlösung vermutlich Fehler enthält.

Übrigens hätte vermutlich inzwischen jede bessere KI die Aufgabe richtig beantwortet.

Weiterhin gibt es Internetseiten, die solche Aufgaben tatsächlich algebraisch lösen und nicht mit Einsatz von KI.

Zur Not darf man doch gerne solche Seiten zur Hilfe nehmen.

Answer 1

Ich vermute, dass du beim Integrieren des Summanden \( \frac{1}{2x+1} \) den Faktor \(\frac{1}{2} \) vergessen hast.

Für Ausdrücke der Form \( \frac{f'(x)}{f(x)} \) ist die Menge der Stammfunktionen gerade \( \ln(f(x))+C \). In deinem Fall steht im Zähler aber nur die Hälfte der Ableitung, daher kommt der Faktor \(\frac{1}{2} \) beim Integrieren (Probe mit Kettenregel machen).

Comments

Ja, den Faktor habe ich in der Tat völlig außen vor gelassen. Danke!