Grenzwert der Folge mit Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

$$\text{ Sei }k\in\mathbb{N}_{0}.\text{ Beweisen Sie: }$$

$$(a)\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{k}}{exp(x)}=0$$

$$(b)\lim\limits_{x\to-\infty}x^{k}exp(x)=0$$

$$\text{ Verwenden Sie die Definition von exp }$$

Problem/Ansatz:

Ich habe mir Überlegt das durch Vollständige Induktion zu beweisen und dabei die Eigenschaft von exp :

$$\text{ Für alle }n\in \mathbb{N}_{0}\text{ und } |x|\leq 1\text{ gilt:}|exp(x)-\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}| \leq\frac{2}{(n+1)!}|x|^{n+1}$$

zu nutzen. Damit bin ich allerdings zu keinen Ergebnis gekommen. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen :)

Answer 1

Hallo

schreib die unendliche Reihe für e^x, dividier Zähler und Nenner durch x^k

schon fast fertig.

bei 2 ersetze x durch - x und nimm  lim gegen +oo mit e^-x=1/e^x

lul

Comments

$$\frac{x^k}{\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}}=\frac{1}{\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!*x^k}}$$

oder

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} =\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{x^k}*\frac{x^k}{n!}$$

in beiden fällen weiß ich ehrlich gesagt nicht was mir das bringen soll oder habe ich hier was falsch verstanden ?

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Hallo

das Ober hatte ich gemeint, alle xⁿ mit n>k bleiben als x^n-k im Nenner stehen

nur die ersten n-1^ verschwinden bei x gegen unendlich, da, schreib mal auf, was im Nenner steht.

oder zum aufschreiben teil die e Reihe in Summe bis k  und von k+1 bis unendlich.

Gruß lul

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Danke für die Klarstellung :)